Module projectif

algebriste · October 2018

Bonjour Chers collègues,

On sait qu'un idéal projectif d'un anneau intègre est de type fini, qu'est-ce qu'on peut dire sur la réciproque (est-ce que tout idéal de type fini est projectif) ? Sinon Pouvez-vous me donner un contre-exemple ?

Math Coss · October 2018

L'idéal $(X_1,X_2)\subset\C[X_1,X_2]=R$ n'est pas un $R$-module projectif. Marteau-pilon : c'est la conjecture de Serre ou le théorème de Quillen-Suslin.

On peut le montrer directement. Cet idéal est un quotient d'un module libre de rang $2$ : c'est l'image de $\phi:Re_1\oplus Re_2\to R$ défini par $\phi(e_1)=X_1$ et $\phi(e_2)=X_2$. Le noyau de $\phi$ est engendré par $v=X_2e_1-X_1e_2$. Supposons que $\phi$ admette une section $\sigma$ et posons $f_1=\sigma(X_1)$ et $f_2=\sigma(X_2)$. il existe $p_1,p_2\in R$ tels que $f_i=e_i+p_iv$ ($i=1,2$). Mais alors, $X_2f_1-X_1f_2\in\ker\phi$ donc, puisque $\sigma$ est une section, $X_2f_1-X_1f_2=0$. On vérifie que ce n'est pas possible.

claude quitté · October 2018

Remarque : dans un anneau intègre $A$, un idéal projectif est plus connu sous le nom d'idéal inversible. Ces deux notions, concernant les idéaux d'un anneau intègre, sont identiques. Et un idéal inversible $I$ de $A$ est par définition un idéal pour lequel il existe un autre idéal $J$ tel que $IJ = aA$ (avec $a$ non nul). Ou encore qui est inversible ``au sens commun'' dans l'ensemble des idéaux fractionnaires de $A$ c.a.d. pour lequel il existe un idéal fractionnaire $J'$ tel que $IJ' = A$.

En théorie des nombres. Soit $K$ un corps de nombres et $A$ un sous-anneau de $K$ de corps des fractions $K$. Alors tous les idéaux de $A$ sont de type fini, n'est ce pas ? A quelle condition tous ces idéaux sont ils projectifs (= inversibles) ? Réponse : si et seulement si $A$ est l'anneau des entiers de $K$. Ce qui va nous fournir une foultitude d'exemples.

Exercice : soit $d$ un entier sans facteur carré vérifiant $d \equiv 1 \bmod 4$. Expliciter dans $\Z[\sqrt d]$ un idéal qui n'est pas inversible (donc non projectif).

algebriste · October 2018

Dans le cas où A n'est pas intègre, est-ce qu'un idéal projectif est caractérisé par l'inversibilité

Module projectif

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 35