Opération dans un anneau et dans un ev

Dans un anneau, on notera plutôt $\lambda u$ (plus courant que $\lambda*u$) quand on parle de l'addition et $u^\lambda$ quand on parle de la multiplication (d'ailleurs $u^\lambda$ n'est pas toujours défini si $\lambda<0$).

Ainsi, dans un anneau (je note $\cdot$ le produit) :

• $3u=u+u+u$ ;
• $0u=0$ (à gauche c'est le zéro de $\Z$, à droite le neutre de l'addition de l'anneau) ;
• $-3u=-u-u-u$ ;
• $u^1=u$ ;
• $u^3=u\cdot u\cdot u$ ;
• $u^0=1$ (à gauche c'est le zéro de $\Z$, à droite l'unité de l'anneau) ;
• $u^{-3}$ n'a de sens que si $u$ est inversible.

Pour $\lambda$ un entier, on note par un léger abus $\lambda$ l'élément de l'anneau qu'il faudrait a priori noter $\lambda*1$ comme tu l'as fait. Par exemple, pour $\lambda\in\N$, on a par définition : $(\lambda+1)*1=\lambda*1+1$. Note que ceci a un sens même si cette application n'est pas injective, c'est-à-dire pour te paraphraser « même si l'anneau (ou le corps) ne contient pas $\Z$ ».

Tu t'inquiètes de savoir si pour tout entier $\lambda$ et tout élément $u$ de l'anneau, on a bien $\lambda*u=\lambda\cdot u$ (en notant $\cdot$ le produit du groupe). Saine préoccupation mais rassure-toi, c'est bien le cas.

Ce qu'on doit montrer, c'est donc : \[\lambda*u=(\lambda*1)\cdot u,\] n'est-ce pas ?
Pour $\lambda=0$, c'est clair : $0*u=0$ et, comme $0*1=0$, on a aussi $0\cdot u=0$.
Pour un entier naturel non nul, ça vient par une récurrence qu'on vient d'amorcer. Soit $\lambda\in\N$. Si on a pour tout $u$ la relation $\lambda*u=(\lambda*1)\cdot u$, alors : $(\lambda+1)*u=\lambda*u+u=(\lambda*1)\cdot u+u=(\lambda*1+1)\cdot u=((\lambda+1)*1)\cdot u=(\lambda+1)\cdot u$.
Pour un entier strictement négatif, c'est du même tonneau.
En bref, ça résulte des propriétés de distributivité (qui permettent aussi de montrer que le neutre de l'addition est absorbant : $0\cdot u=0$ pour tout $u$).

Pour un espace vectoriel, c'est pareil.

Edit : Rectification de deux $\cdots$ en $\cdot$ (en code : \cdots -> \cdot).

Il y avait en effet deux fautes de frappes que j'ai corrigées (un \cdot qui prend un "s" devient trop nombreux : de $\cdot$, il devient $\cdots$).

Le but est de démontrer que $\lambda*u=\lambda\cdot u$ pour $\lambda$ entier naturel par récurrence. Pour l'hérédité, on part de $(\lambda+1)*u$. Oui, on sait que c'est la somme de $\lambda+1$ termes égaux à $u$, ce qui est la somme de $\lambda$ termes égaux à $u$ et de $u$, donc on peut en effet écrire directement $\lambda*u+u$. D'accord pour ce point.

Habituellement, quand le groupe est commutatif, on note souvent son opération + (et le neutre 0) et × ou . (et le neutre 1) quand il ne l’est pas.