Quotient par une somme d´idéaux

Bonjour, je suis tombé sur un passage d’un texte sur internet qui m’intrigue:
Si $A $ est un anneau, et $I$ et $J$ deux idéaux de $A$ alors on a un isomorphisme entre $\frac{A}{I+J}$ et $\frac{\frac{A}{I}}{\frac{I+J}{J}}$.
Et je vois dans ce texte qu’il y a un isomorphisme entre $\frac{C[X,Y]}{(X^2,Y)}$ et $\frac{\frac{C[X,Y]}{(Y)}}{(X^2)}$ puis entre ce dernier et $\frac{C[X]}{X^2}$ sans tellement plus de justification.

Première chose qui me dérange : dans le dernier membre, le $(X^2)$ n’a pas de sens pour moi, ça devrait être $((X’)^2)$ ($X’$ est la classe de $X$ dans $\frac{C[X,Y]}{(Y)}$, je ne sais pas comment mettre une barre).

Ensuite : c’est un peu pareil, c’est-à-dire que $\frac{C[X,Y]}{(Y)}$ est l’ensemble des polynômes en $X’$ donc on aurait quelque chose du genre $\frac{C[X,Y]}{(X^2,Y)}$ égal à $\frac{C(X’)}{(X’)^2}$, et ce dernier truc serait isomorphe à $\frac{C[X]}{X^2}$, ce qui ne me paraît pas immédiat.

J’attends vos lumières.
Je me doute que montrer rigoureusement à la main ce résultat ne doit pas être trop dur mais je me demande s’il y a un théorème qui permet de le faire.