Applications linéaires, espace d'arrivée
Bonjour
J'aurais une question concernant les applications linéaires entre espaces vectoriels.
Prenons pour exemple l'application f: R^2 -> R^3 (x, y) |-> (3x, 2x + y, x + y)
D'un point de vue géométrique, on associe un vecteur du plan à un vecteur de l'espace.
Donc x.f(e1) + y.f(e2) = x(3,2,1) + y(0,1,1) = Vect ((3,2,1),(0,1,1)) de dimension 2, c'est un plan.
Au point du plan on associe donc les points d'un plan dans l'espace ?
Est-ce toujours vrai que l'on associe à un espace de dimension n, un espace de dimension n exprimé dans un espace de dimension m (pour R^n -> R^m).
Merci pour vos réponses.
Cordialement,
Pimond
J'aurais une question concernant les applications linéaires entre espaces vectoriels.
Prenons pour exemple l'application f: R^2 -> R^3 (x, y) |-> (3x, 2x + y, x + y)
D'un point de vue géométrique, on associe un vecteur du plan à un vecteur de l'espace.
Donc x.f(e1) + y.f(e2) = x(3,2,1) + y(0,1,1) = Vect ((3,2,1),(0,1,1)) de dimension 2, c'est un plan.
Au point du plan on associe donc les points d'un plan dans l'espace ?
Est-ce toujours vrai que l'on associe à un espace de dimension n, un espace de dimension n exprimé dans un espace de dimension m (pour R^n -> R^m).
Merci pour vos réponses.
Cordialement,
Pimond
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Réponses
Que penses-tu de $f : (x,y)\mapsto (x+y,x+y,x+y) $? Ou de $f : (x,y)\mapsto (0,0,0)$ (les deux sont des applications linéaires) ?
Pour le cas général, le théorème du rang permet d'avoir une idée des différentes possibilités, par exemple de voir que pour $f$ linéaire de $E$ dans $F$, $\dim(Im(f))\le \dim(E)$.
Cordialement.
L'idée sous-jacente est correcte en revanche : l'image de $f$, qui est l'ensemble des images $f\bigl((x,y)\bigr)$ lorsque $(x,y)$ décrit $\R^2$, est bien $\mathrm{Vect}\bigl((3,2,1),\ (0,1,1)\bigr)$. Cet espace vectoriel est bien un plan de l'espace. Dis comme ça, non, évidemment. Pour une application de $\R^3$ dans $\R^2$, comment pourrais-tu associer un sous-espace de $\R^2$ de dimension $3$ à l'espace de départ $\R^3$ ? Il n'en existe pas.
D'autre part, si tu considères l'application \[f:\R^2\longrightarrow\R^3,\quad (x,y)\mapsto (2x+2y,x+y,-x-y),\] l'image est $\mathrm{Vect}\bigl((2,1,-1),\ (2,1,-1)\bigr)$ qui est une droite et non un plan.
Bref, l'image d'une application linéaire – disons de $\R^n$ dans $\R^m$, de $E$ dans $F$ – est toujours un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée et sa dimension peut prendre n'importe quelle valeur entre $0$ et $\min(m,n)$, ou $\min(\dim E,\dim F)$. Note que cette dimension est par définition le rang de l'application linéaire et que le théorème le plus important (le seul ?) sur les applications linéaires (entre espaces différents) est le théorème du rang.
Effectivement ma rédaction n'était pas très précise, j'ai pensé n inférieur ou égal à m sans le noter...
Merci en tout cas pour vos réponses claires.
Cordialement