Applications linéaires, espace d'arrivée

Pimond a écrit:

on associe un vecteur du plan à un vecteur de l'espace.

Non, l'inverse : à un vecteur du plan $\R^2$, on associe un vecteur de l'espace $\R^3$.

Pimond a écrit:

\[ xf(e1) + yf(e2) = x(3,2,1) + y(0,1,1) = \mathrm{Vect}\bigl((3,2,1),\ (0,1,1)\bigr).\]

Cette phrase est très étrange. Comme $x$ et $y$ ne nous ont pas été présentés, une lectrice même futée n'a aucune raison de comprendre qui est $xf(e_1)+yf(e_2)$. Supposons qu'ils aient été définis comme des réels dans la ligne au-dessus. Alors $xf(e_1)+yf(e_2)$ et $x(3,2,1) + y(0,1,1)$ sont des vecteurs de $\R^3$ et tout va bien. Ça se gâte quand on écrit que ces vecteurs sont égaux à un « Vect », qui est un ensemble de vecteurs : peu de chances que l'égalité soit juste.

L'idée sous-jacente est correcte en revanche : l'image de $f$, qui est l'ensemble des images $f\bigl((x,y)\bigr)$ lorsque $(x,y)$ décrit $\R^2$, est bien $\mathrm{Vect}\bigl((3,2,1),\ (0,1,1)\bigr)$. Cet espace vectoriel est bien un plan de l'espace.

Pimond a écrit:

Est-il toujours vrai... ?

Dis comme ça, non, évidemment. Pour une application de $\R^3$ dans $\R^2$, comment pourrais-tu associer un sous-espace de $\R^2$ de dimension $3$ à l'espace de départ $\R^3$ ? Il n'en existe pas.

D'autre part, si tu considères l'application \[f:\R^2\longrightarrow\R^3,\quad (x,y)\mapsto (2x+2y,x+y,-x-y),\] l'image est $\mathrm{Vect}\bigl((2,1,-1),\ (2,1,-1)\bigr)$ qui est une droite et non un plan.

Bref, l'image d'une application linéaire – disons de $\R^n$ dans $\R^m$, de $E$ dans $F$ – est toujours un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée et sa dimension peut prendre n'importe quelle valeur entre $0$ et $\min(m,n)$, ou $\min(\dim E,\dim F)$. Note que cette dimension est par définition le rang de l'application linéaire et que le théorème le plus important (le seul ?) sur les applications linéaires (entre espaces différents) est le théorème du rang.