Compatibilité et ensemble quotient

Celmar2Ceaumar · October 2018

Bonjour,
j'ai du mal à comprendre une notion.

Soit E un ensemble, sur lequel on définit une relation d'équivalence, muni d'une loi de composition interne. On peut alors définir une nouvelle l.c.i sur l'ensemble quotient
en question. Mais cette définition n'a du sens seulement si elle ne dépend pas du choix des représentants choisis dans les classes d'équivalence.

Je ne comprends pas le "n'a du sens". Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer ou en tout cas me donner un contre-exemple : c'est-à-dire une l.c.i qui dépend d'un représentant ?

Merci et bonne journée.

Math Coss · October 2018

On prend $E=\Z$, l'addition comme lci et pour relation d'équivalence, on dit que $a\sim b$ si $a=\pm b$. Les classes d'équivalence sont donc le singleton $\{0\}$ et les paires $\{-n,n\}$ avec $n\in\N^*$.

On essaie de définir une lci sur $E/\sim$ induite par l'addition. On part de deux classes $\mathbf{m}$ et $\mathbf{n}$. On choisit un représentant $m$ de $\mathbf{m}$ et un représentant $n$ de $\mathbf{n}$. On pose $p=m+n$ et on espère définir $\mathbf{m}+\mathbf{n}$ comme la classe de $p$. Ce n'est pas possible.

Prenons en effet un exemple. Pour $\mathbf{m}$, on choisit $\{-3,3\}$ et pour $\mathbf{n}$, on choisit $\{-5,5\}$.

Si on choisit $m=3$ et $n=-5$, alors $m+n=-2$ et on est conduit à définir $\mathbf{m}+\mathbf{n}=\{-2,2\}$.
En revanche, si on choisit $m=3$ et $n=5$, alors $p=m+n=8$ et on est conduit à définir $\mathbf{m}+\mathbf{n}=\{-8,8\}$.
Je passe sur les deux autres cas qui donnent les deux mêmes résultats, $\{-2,2\}$ et $\{-8,8\}$.

Alors, qui doit être $\mathbf{m}+\mathbf{n}$ ? La recette n'est pas assez précise, des utilisateurs différents ne vont pas tomber sur le même résultat, c'est bien embêtant !

Poirot · October 2018

L'idée est très simple : on dispose d'une loi $*$ sur un ensemble $E$ et d'une relation d'équivalence $\sim$ sur $E$. On a envie de définir une loi $*'$ sur l'ensemble quotient $E/\sim$ des classes d'équivalence d'éléments de $E$ pour la relation $\sim$ par $$[x] *' [y] := [x*y],$$ où $[z]$ désigne la classe d'équivalence de $z \in E$. Le problème de cette définition est que l'on se sert de $x, y \in E$ pour définir comment $[x]$ se "multiplie" par $[y]$, mais il se pourrait très bien qu'en considérant $a$ et $b$ dans $E$ qui vérifient $[a]=[x]$ et $[ b]=[y]$, on n'ait pas forcément $[x*y]=[a*b]$. Dans ce cas, la loi $*'$ n'est pas bien définie, elle dépend du représentant choisi pour les classes d'équivalence !

Un exemple : $E=\mathbb Z, *=+$ et $\sim$ est la relation d'équivalence "être opposé". Si $x, y \in \mathbb Z$ sont non nuls, distincts et non opposés alors $[x+y] \neq [x+(-y)]$ !

EDIT : je n'en reviens pas de m'être fait griller à quelques secondes, et avec le même contre-exemple !

gerard0 · October 2018

Bonjour.

Considère $(\mathbb R,+)$ et la relation d'équivalence $a\mathbf R b \Leftrightarrow a^2=b^2$

On définit une nouvelle opération +' sur l'ensemble quotient par : Cl(a) +' Cl(b) = Cl(a+b)
C'est la "loi induite".
Soient x et y les classes de 2 et 5. Combien vaut x +' y ?

Tu vois que cette opération +' n'est pas "bien définie", puisqu' on ne sait pas ce que vaut x +' y, on a deux valeurs possibles, +' n'est pas une loi de composition.

Cordialement.

Edit : trois fois la même idée !! Et pourtant il y en a bien d'autres ...

Celmar2Ceaumar · October 2018

C'est beaucoup plus clair, je vous remercie énormément !

Bonne soirée

AD · October 2018

Bon, prenons un autre exemple : le groupe symétrique $\mathfrak S_3=\{id,(12),(13),(23),(123),(132)\}$.
Prenons le sous-groupe $H=\{id,(12)\}\simeq \mathbb Z/2\mathbb Z$ et définissons la relation d'équivalence :
pour tout $x,y\in\mathfrak S_3$, $x\mathcal Ry$ ssi $xy^{-1}\in H=\{id,(12)\}$. C'est bien une relation d'équivalence sur $\mathfrak S_3$ (laissé en exercice).
Les trois classes sont $e=\{id,(12)\}=H$, $a=\{(13),(132)\}$ et $b=\{(23),(123)\}$.
On aimerait définir la loi induite sur le quotient (l'ensemble des classes). Regardons ce que vaut $b\star a$.
On va choisir $(13)$ comme représentant de $a$ et $(23)$ comme représentant de $b$.
Alors $(23)(13)=(123)$ qui est dans la classe $b$ et donc $b\star a=b$
Si maintenant on prend $(132)$ comme représentant de $a$,
alors $(23)(132)=(12)$ qui est dans la classe $e$ et donc $b\star a= e$.
Alors qui choisir pour $a\star b$ ? $b$ ou $e$ ?
Bref la loi de $\mathfrak S_3$ ne passe pas au quotient par le sous-groupe $H$.
Alain

Compatibilité et ensemble quotient

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 30