Sous-espaces propres

Jota · October 2018

Salut, je n'ai pas pu résoudre l'exercice suivant.

Soit $u \in L(E)$ et $\dim(E)=n<\infty $, soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Supposons que $\chi_{u}(x)$ est scindé sur $\mathbb{K}$. On note $k_{\lambda}$ la multiplicité géométrique de $\lambda$ dans le polynôme caractéristique de $u$.
Montrer que $k_{\lambda}$ coïncide avec l'ordre de multiplicité de $\lambda$ comme racine du polynôme minimal $P_{u}$ de $u$.

Merci d'avance.

Math Coss · October 2018

Je ne comprends pas bien « multiplicité géométrique » (= dimension de l'espace propre ?) quand c'est collé à « dans le polynôme caractéristique ».

Pour $u=2\mathrm{id}$, j'ai tendance à penser que n'importe quelle multiplicité de la valeur propre $2$ est $n$ alors que la multiplicité de $2$ comme racine de $P_{2\mathrm{id}}=x-2$ est $1$. Je ne crois pas tellement au résultat – mais parfois je lis de travers.

Jota · October 2018

Oui, la multiplicité géométrique c'est la dimension de l'espace propre.

Math Coss · October 2018

Alors je ne comprends pas la formulation « multiplicité géométrique dans le polynôme », vu que la multiplicité géométrique n'est pas liée à un polynôme. Tu saurais éclaircir les choses ?

Que t'évoque l'exemple de $2\mathrm{id}$ ?

Romyna · October 2018

Coucou !

Math Coss a écrit:

Alors je ne comprends pas la formulation « multiplicité géométrique dans le polynôme », vu que la multiplicité géométrique n'est pas liée à un polynôme. Tu saurais éclaircir les choses ?

C'est une histoire de subtilité liée à la multiplicité d'une valeur propre. Recours à l'explicitation de ton moteur wiki :

On se passe des préambules :
...l'ordre de multiplicité géométrique de ${\displaystyle \lambda }$ est la dimension du sous-espace propre associé, et l'ordre de multiplicité algébrique est la dimension du sous-espace caractéristique associé. L'ordre de multiplicité algébrique est aussi égal à l'ordre de multiplicité ${\displaystyle m_{\lambda }} $ de la racine ${\displaystyle \lambda } $ dans le polynôme caractéristique de u.

On ne commence jamais une phrase avec la conjonction de subordination : alors. C'est une affaire de sémantique ! :-P

Jota · October 2018

Désolé Math Coss, je me suis trompé dans l’énoncé, on parle plutôt de la multiplicité algébrique dans le polynôme minimal et non pour la multiplicité géométrique.

Math Coss · October 2018

L'exemple de $2\mathrm{id}$ me laisse toujours sceptique sur l'énoncé.

paf · October 2018

Clairement, l'énoncé tel quel est faux comme le dit Math Coss. On pourrait inventer d'autres contre-exemples comme celui de la matrice :
$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & & \\ & 2 & 1 & \\ & & 2 & \\ & & & 2\end{bmatrix}$$
dont le polynôme minimal est $(x-2)^3$ et le polynôme caractéristique est $(x-2)^4$. En plus le sous-espace propre est de dimension 2 comme ça toutes les multiplicités sont différentes.

Tu es sûr d'avoir bien recopié l'énoncé ?

Romyna · October 2018

Précisons qu'il n'y a pas de mauvaises questions,
mais juste des réponses adaptées ou inadaptées.

L'exemple u=2id n'est pas présent dans cet énoncé!
Bon, mieux vaut être un vrai sceptique qu'une fausse ....

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & & \\ & 2 & 1 & \\ & & 2
& \\ & & & 2\end{bmatrix}$$
@Paf, montre comment tu déduis les deux polynômes.

Jota · October 2018

Désolé, je pense que je vous induit en erreur depuis.

Soit $u \in L(E)$ et $\dim(E)=n<\infty $, soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Supposons que $\chi_{u}(x)$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et posons $\chi_{u}(x)=(x-\lambda_{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda_{r})^{m_{r}}$, $Spec(x)=\left\{\lambda_{1}, \ldots ,\lambda_{r} \right\}$ et avec $m_{i} \in \mathbb{N}^{*}$. On définit le polynôme minimal de $u$ par $P_{u}=(x-\lambda_{1})^{k_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{k_{r}}$ avec $1\le k_{i}\le m_{i}$ , $i=1, \ldots , r$
Montrer que $k_{\lambda}$ coïncide avec l'ordre de multiplicité de $\lambda$ comme racine du polynôme minimal $P_{u}$ de $u$.
Note: $k_{\lambda}$ la multiplicité géométrique de $\lambda$, avec $k_{\lambda}=\dim_{\mathbb{K}}\big(E_{\lambda}(u)\big)$

Math Coss · October 2018

Ce n'est pas beaucoup plus convaincant. La phrase qui commence par « on définit le polynôme minimal... » ne définit rien du tout : comme il y a une indétermination sur les $k_i$, on ne comprend pas si tu es en train de définir les $k_i$ à partir du polynôme minimal défini par ailleurs ou si les $k_i$ sont définis par la dernière phrase (qui parle de « multiplicité géométrique »), c'est-à-dire un peu tardivement pour la phrase « on définit le polynôme minimal... ».

Si tu définis d'abord $P_u$ comme polynôme minimal au sens traditionnel, puis les $k_i$ via la factorisation de $P_u$, alors 1) il est évident que $k_i$ coïncide avec la multiplicité de $\lambda_i$ comme racine de $P_u$ mais 2) en général, $k_i$ n'est pas la dimension de l'espace propre associé à $\lambda_i$.

Si tu définis $k_i$ comme la dimension de l'espace propre (ou de l'espace caractéristique) associé à $\lambda_i$ puis $P_u$ comme le produit des $(x-\lambda_i)^{k_i}$, alors $P_u$ n'est pas toujours le polynôme minimal de $u$.

Jota · October 2018

Merci beaucoup pour votre aide!! Mon professeur d'algèbre a dit en cours qu'il y avait une erreur sur l'exercice.

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