Un problème résolu par P. Bornsztein

soland · October 2018

Trouver les solutions réelles du système
$$\begin{cases}
\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^1 &= &n \\
\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^4 &=&\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^3
\end{cases}$$

P. · October 2018

Reponse $x_i=1.$ En effet soit $Y$ la va de loi $\Pr(Y=1-x_i)=1/n$ Alors $E(Y)=0$ et $0=E((Y-1)^3Y)=E(Y^2(3-3Y+Y^2)).$ Mais $3-3Y+Y^2>0$ donc $Y^2=0.$

Crapul · October 2018

En bas de la première page de ce document figure cet exercice.
Il est précisé 10th grade, ce qui d'après wikipedia correspondrait à des élèves ukrainiens de 15-16 ans... je ne sais pas quels sont les outils/savoirs à leur disposition, mais il doit y avoir du coup une réponse plus élémentaire.

PierreB · October 2018

Juste des histoires d'inégalités entre moyennes d'ordre 4, d'ordre 3 et d'ordre 1, en fait.

Pierre.

soland · October 2018

Factorisation de polynômes.

incognito · October 2018

Bonjour,

L'hypothèse entraîne que $\sum_{i=1}^n (x_i-1)^2(x_i^2+x_i+1)=0$, c'est une somme de réels positifs, chaque terme est nul et donc tous les $x_i$ valent $1$.