CNS de diagonalisabilité
Bonjour,
Soit E un K espace vectoriel de dimension n, u un endomorphisme de E
u est diagonalisable ssi u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples
pour montrer l'implication de "droite à gauche", voici ce qu'on peut trouver dans un corrigé :
posons P=alpha(X-lambda1)...(X-lambda r) où r inférieur ou égal à n
Avec cette hypothèse je comprends la preuve qui s'en suit
mais j'ai l'impression que poser ce polynôme revient à faire une hypothèse + forte que celle de l'énoncé stricto sensu.
En effet qu'est ce qui nous dit que si u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples Alors son degré est inférieur à la dimension de l'espace?
J'ai pensé à la notion de polynôme minimal sans vraiment parvenir à répondre à ma question, en effet je n'arrive pas à comprendre pourquoi le degré du polynôme minimal est inférieur ou égal à la dimension de l'espace (je n'ai pas la notion de polynôme caractéristique à mon programme, car pas de déterminant, car pas de notions de groupes...) juste en sachant que le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur de u.
Merci d'avance
Soit E un K espace vectoriel de dimension n, u un endomorphisme de E
u est diagonalisable ssi u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples
pour montrer l'implication de "droite à gauche", voici ce qu'on peut trouver dans un corrigé :
posons P=alpha(X-lambda1)...(X-lambda r) où r inférieur ou égal à n
Avec cette hypothèse je comprends la preuve qui s'en suit
mais j'ai l'impression que poser ce polynôme revient à faire une hypothèse + forte que celle de l'énoncé stricto sensu.
En effet qu'est ce qui nous dit que si u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples Alors son degré est inférieur à la dimension de l'espace?
J'ai pensé à la notion de polynôme minimal sans vraiment parvenir à répondre à ma question, en effet je n'arrive pas à comprendre pourquoi le degré du polynôme minimal est inférieur ou égal à la dimension de l'espace (je n'ai pas la notion de polynôme caractéristique à mon programme, car pas de déterminant, car pas de notions de groupes...) juste en sachant que le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur de u.
Merci d'avance
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Réponses
Ok admettons que le degré du polynôme minimale est inférieur ou égal à n.
Dans ces dispositions, si l'on suppose que u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples peut-on dire que ce polynôme est de degré inférieur ou égal à n ?
Dans un cours sur lequel je suis tombé, dans lequel on définit A comme l'ensemble des polynômes annulateurs d'un endomorphisme et D(A) l'ensemble des degrés de ces polynômes annulateurs, on définit le polynôme minimal P comme le seul polynôme unitaire tel que degP=min D(A)
Ensuite on montre que P divise tout polynôme de A grâce à la division euclidienne sur les polynômes.
Cette construction ne permet-elle pas de dire que le degré du polynôme minimal est inférieur ou égal à n, sans polynôme caractéristique etc ?
Par contre, s'il existe un tel polynôme annulateur de $A$ scindé à racines simples, alors le polynôme minimal de $A$ est scindé à racines simples, puisqu'il divise un tel polynôme. On peut ensuite faire le raisonnement dont tu parles sur le polynôme minimal de $A$, car on sait qu'il est de degré $\leq n$.
Déjà, un polynôme scindé à racine simple annulant $u$ peut très bien avoir strictement plus de $n$ racines deux à deux distinctes.
Exemple: $E=\mathbb{R}^2$, $u=Id_{\mathbb{R}^2}$
Alors, le polynôme $\displaystyle\prod_{k=1}^{2018}(X-k)$ admet $2018>2$ racines et est un polynôme annulateur de $u$.
Retour au cas général.
Le fait que le degré du polynôme minimal de $u$ a un degré inférieur à $n$ est en effet une conséquence du théorème de Caley-Hamilton et de la notion de polynôme caractéristique...
Voici une manière de s'en sortir sans Caley-Hamilton:
Soit $P$ un polynôme scindé à racines simples annulateur de $u$.
Alors, on dispose de $r\in\mathbb{N}^*$ et de $(\lambda_1,...,\lambda_r)\in\mathbb{R}^{r}$ tel que:
$$P = \displaystyle\prod_{k=1}^r(X-\lambda_k)$$
Alors, on peut montrer (si tu connais le lemme des noyaux, c'est immédiat) que:
$$E = \displaystyle\bigoplus_{k=1}^{r}\ker(u-\lambda_k id_E)$$
On note $I = \left\{~k\in\{1;...;r\}~|~\ker(u-\lambda_k id_E)=\{0_E\} \right\}$
Alors,
$$E = \displaystyle\bigoplus_{k\in \{1;...;r\}\setminus I}\ker(u-\lambda_k id_E)$$
Le polynôme $\displaystyle\prod_{k\in \{1;...;r\}\setminus I}(X-\lambda_k)$ est un polynôme annulateur de $u$.
Notons $r'$ le cardinal de l'ensemble de ses racines.
Pour tout $k\in \{1;...;r\}\setminus I$, on note $x_k$ un élément non nul de $\ker(u-\lambda_k id_E)$ (un tel élément existe par construction).
Alors, alors, la famille $(x_i)_{k\in \{1;...;r\}\setminus I}$ est une famille libre dans $E$ (espace vectoriel de dimension $n$) et comporte $r'$ vecteurs.
Donc, $r'\leqslant n$.
(Je ne connais pas précisément les outils théoriques dont tu disposes... !)
En revanche, je connais le lemme des noyaux mais j'ai l'impression que la preuve proposée par mon livre est une arnaque..tant pis!
Merci pour vos réponses !