Ext (homologie)

jeancharles · October 2018

Bonjour à tous

Je cherche à calculer
Ext* Z/lz (Z/nz, Z/mZ), dans les cas où cela existe.

J'ai déjà conclu qu'il est nécessaire que l divise n et m.

Et je cherche également à calculer
Tor 1,Z (L,Q/Z), où L est un Z module.

J'ai pensé utiliser l'isomorphisme entre Tor(A,B) et Tor (B,A) pour utiliser une suite exacte
0-->Z-->Q-->Q/Z-->0
mais je n'ai pas abouti. Normalement, c'est les éléments de torsion de L mais je n'arrive pas à le montrer.
Je n'arrive pas à trouver quelles sont les suites exactes à considérer.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît.
Cordialement,
JC

melpomène · October 2018

$\newcommand{\zz}{\mathbb{Z}}$
$\newcommand{\qq}{\mathbb{Q}}$
$\newcommand{\Tor}{\mathrm{Tor}}$
$\newcommand{\Ext}{\mathrm{Ext}}$

J'imagine que tu sais que les $\Tor_i$ et $\Ext^i$ sont nuls dès que $i\geq 2$ (je considère le cas des $\zz$-modules, i.e. les groupes abéliens).

J'imagine que tu sais aussi que $\Tor_1(A,N)=0$ pour tout groupe abélien $N$ $\iff$ $A$ est sans torsion.

Utilise la suite exacte
$0\to L_t\to L\to L/L_t\to 0$, où $L_t$ est le sous-groupe de torsion de $L$ , pour avoir $\Tor_1(L,N)\simeq\Tor(L_t,N)$ pour tout $N$,

Utilise alors la suite exacte

$0\to \zz\to \qq\to\qq/\zz\to 0$ et aussi $\Tor_1(M,N)=\Tor_1(N,M)$ pour obtenir $\Tor_1(L_t,\qq/\zz)\simeq L_t$.

Pour $\Ext$ je n'ai pas réfléchi, mais il faut exploiter (j'imagine) le fait que $\Ext_R^1(M,N)=0$ si $M$ est projectif ou si $N$ est divisible.

Mel

Maxtimax · October 2018

Attention, il faut que $n,m$ divisent $l$, pas l'inverse ! En effet il faut que $l\cdot 1 = 0\cdot 1 =0$ donc $n\mid l$ (et $m\mid l$).

Pour ta première question je te propose de commencer par montrer que si $n\land m =1$, cet Ext est nul; puis utiliser le théorème chinois pour te ramener à des calculs plus faciles de $\mathrm{Ext}_{\Z/l\Z}(\Z/p^a\Z, \Z/p^b\Z)$, pour $p$ un premier divisant $l$.

Contrairement à ce que melpomène a dit pour $\Z$ (enfin ce qu'elle dit est juste, mais ici c'est $\Z/l\Z$ donc ça ne s'applique pas) attention les $\mathrm{Ext}$ supérieurs ne sont pas forcément nuls

@melpomene : par ailleurs dans l'équivalence que tu mentionnes, seul l'implication de droite à gauche est utile ici si je ne me méprends pas, et elle est plus simple à montrer non ?

melpomène · October 2018

@Max: tu ne te méprends guère, mais c'est l'implication la moins facile à démontrer.

Pour Ext, mea culpa, j'avais zappé le $\mathbb{Z}/l\mathbb{Z}$, oups...

Maxtimax · October 2018

@mel : ah ? Pourtant si $A$ est sans torsion alors (parce que $\Z$) [ah oups j'utilisais sans le voir une hypothèse de génération finie ] il est libre (-> du coup non, sauf à supposer $A$ finiment généré)