Relation entre noyau et image
Bonjour,
dans la proposition suivante, je ne comprends pas où intervient le fait que l'opérateur soit borné : Soit $A\colon E\to F$ un opérateur linéaire borné entre deux espaces de Hilbert. En notant $A^*$ son adjoint, on a $(\operatorname{im}A)^\bot = \operatorname{ker}A^*$.
Pour établir ce résultat, j'ai en tête la démonstration suivante :
Montrons que $\operatorname{ker}A^*\subset(\operatorname{im}A)^\bot$. On considère $z\in\operatorname{ker}A^*$. Pour tout $y\in\operatorname{im}A$ il existe un $x\in E$ tel que $y=Ax$. Ainsi $(z\mid y)_F = (z\mid Ax)_F = (A^*z\mid x)_E = 0$ donc $z\in(\operatorname{im}A)^\bot$.
Montrons que $(\operatorname{im}A)^\bot\subset\operatorname{ker}A^*$. On considère $z\in (\operatorname{im}A)^\bot$. Pour tout $x\in E$, $(Ax\mid z)_F = 0 = (x\mid A^*z)_E$ donc $z\in\operatorname{ker}A^*$.
Mais je ne vois pas où j'ai besoin de la continuité de l'opérateur.
Je pense que cette hypothèse est effectivement nécessaire car en disant $(\operatorname{im}A)^\bot = \operatorname{ker}A^*$ on dit que le noyau de l'adjoint est fermé (étant donné qu'un complément orthogonal est toujours fermé en vertu de la continuité du produit scalaire) ce qui, je pense implique que l'adjoint et donc l'opérateur en personne sont continus.
Ai-je loupé quelque chose ?
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
dans la proposition suivante, je ne comprends pas où intervient le fait que l'opérateur soit borné : Soit $A\colon E\to F$ un opérateur linéaire borné entre deux espaces de Hilbert. En notant $A^*$ son adjoint, on a $(\operatorname{im}A)^\bot = \operatorname{ker}A^*$.
Pour établir ce résultat, j'ai en tête la démonstration suivante :
Montrons que $\operatorname{ker}A^*\subset(\operatorname{im}A)^\bot$. On considère $z\in\operatorname{ker}A^*$. Pour tout $y\in\operatorname{im}A$ il existe un $x\in E$ tel que $y=Ax$. Ainsi $(z\mid y)_F = (z\mid Ax)_F = (A^*z\mid x)_E = 0$ donc $z\in(\operatorname{im}A)^\bot$.
Montrons que $(\operatorname{im}A)^\bot\subset\operatorname{ker}A^*$. On considère $z\in (\operatorname{im}A)^\bot$. Pour tout $x\in E$, $(Ax\mid z)_F = 0 = (x\mid A^*z)_E$ donc $z\in\operatorname{ker}A^*$.
Mais je ne vois pas où j'ai besoin de la continuité de l'opérateur.
Je pense que cette hypothèse est effectivement nécessaire car en disant $(\operatorname{im}A)^\bot = \operatorname{ker}A^*$ on dit que le noyau de l'adjoint est fermé (étant donné qu'un complément orthogonal est toujours fermé en vertu de la continuité du produit scalaire) ce qui, je pense implique que l'adjoint et donc l'opérateur en personne sont continus.
Ai-je loupé quelque chose ?
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
arg mais oui, j'avais tellement la tête dans le guidon de la démonstration que je n'ai pas pensé à regarder plus haut.
Il existe bien des définitions (https://en.wikipedia.org/wiki/Unbounded_operator#Adjoint) mais effectivement il y a pleins de choses qui ne tournent plus aussi bien et ça me dépasse.
Merci beaucoup !
Cordialement,
Mister Da