Module de présentation finie
dans Algèbre
Bonsoir chers collègues,
Soient D un domaine qui n'est pas un corps, K=Frac(R) son corps de fractions et R:=D (x) K l'anneau de l'extension triviale de D par K.
Montrer qu'un idéal J de R est de présentation finie si et seulement J=I (x) K, où I un idéal de D de présentation finie ??
Merci !!
Soient D un domaine qui n'est pas un corps, K=Frac(R) son corps de fractions et R:=D (x) K l'anneau de l'extension triviale de D par K.
Montrer qu'un idéal J de R est de présentation finie si et seulement J=I (x) K, où I un idéal de D de présentation finie ??
Merci !!
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Réponses
(a,e)+(b,f)=(a+b,e+f)
(a,e).(b,f)=(ab, ae+bf).
En particulier tout idéal est un sous-module.
Soient D un domaine d'intégrité qui n'est pas un corps, K=Frac(R) son corps de fractions donc K est un K-espace vectoriel, on définit un nouvel anneau à partir de D et K dont les lois sont définies par :
(a,e).(b,f)=(ab, ae+bf).
Comment montrer qu'un idéal J de R est de présentation finie si et seulement J=I (x) K, où I un idéal de D de présentation finie ??
> On dit qu'un module M est de présentation finie si on a la suite ...L1-->L0-->M--0 est exacte avec
> L1 et L0 sont des modules libres de base finie En particulier tout idéal est un sous module.
Pourquoi en particulier ? Ça n'a rien à voir avec la définition de module de présentation finie. Sous-module de quoi ? Sous-module de l'anneau bien sûr !
> Soient D un domaine d'intégrité qui n'est pas un corps, K=Frac(R) son corps de fractions
C'est plutôt K=Frac(D), non ?
> donc K est un K-espace vectoriel,
Tu utilises plutôt le fait que K est un D-module, n'est-ce pas ?
> on définit un nouvel anneau à partir de D et K dont les lois sont définies par:
>
> (a,e)+(b,f)=(a+b,e+f)
>
> (a,e).(b,f)=(ab, ae+bf).
> noté R:=D (x) K et appelé l'extension triviale de D par K.
La multiplication ne serait-elle pas plutôt
$$(a,e)\cdot(b,f)=(ab, af+be)\ ?$$