Groupes avec 2 sous-groupes non-normaux

Bonsoir Michiel
Content de te revoir ici.
Oui il en existe, le groupe d'ordre 16 : $G=C_8\rtimes_u C_2$, où $u:C_2\to Aut(C_8)$ est défini par $u(b)=(a\mapsto a^5)$ (avec $a$, resp $b$, générateur de $C_8$, resp $C_2$).
Tous les sous-groupes sont distingués (encadrés), sauf $\langle b\rangle$ et $\langle aba^{-1}=a^4b\rangle$ qui sont conjugués.
Voici son treillis des sous-groupes. Ce groupe est accessible par GAP : SmallGroup(16,6).
Alain

Bonsoir Michiel

J'ai le sentiment que pour tout $n\neq 1$ il existera des groupes ayant $n$ sous-groupes non distingués. Déja pour les premières valeurs :
$n=0$ tout groupe commutatif, mais aussi le groupe des quaternions $\mathbb H_8$.
$n=1$ il n'en existe pas car tout sous-groupe appartient à une classe de conjugaison. Si celle-ci est de cardinal 1 alors le sous-groupe est distingué.
$n=2$ le groupe ci-dessus.
$n=3$ comme tu l'indiques $\mathfrak S_3$, mais aussi $\widetilde{\mathfrak S_3}$ d'ordre 12 (extension non triviale de $\mathfrak S_3$ par $C_2$).
$n=4$ le diédral $D_4$ d'ordre 8 le groupe du carré (deux classes de 2 sous-groupes, chacun engendré par les symétries par rapport aux diagonales et par rapport aux apothèmes)
$n=5$ le diédral $D_5$ d'ordre 10. Et de manière générale, pour tout $p$ premier impair, le diédral $D_p$ d'ordre $2p$ qui admet une classe de conjugaison de $p$ sous-groupes (isomorphes à $C_2$, engendrés par les symétries) et le sous-groupe des rotations qui est distingué.
$n=6$ Il y a le produit semi-direct $D_4\rtimes C_2$ d'ordre 16, où $C_2$ permute les symétries par rapport aux diagonales avec celles par rapport aux apothèmes. Ou alors plus gros : $D_3\times C_5$ d'ordre 30.
$n=7$ $D_7$, mais aussi $\mathfrak A_4$ avec une classe de quatre sous-groupes $C_3$ conjugués (les 3-Sylow) et une classe de trois sous-groupes $C_2$ les double-transpositions.
$n=8$ le produit semi-direct $C_8\rtimes_uC_2$ d'ordre 16, où cette fois $u(b)=(a\mapsto a^3)$, mais aussi $D_4\times C_3$ d'ordre 24.
$n=9$ $D_6$ d'ordre 12 le groupe de l'hexagone, deux classes de cardinal 3 : les symétries par rapport aux diagonales ou aux apothèmes, et une classe de cardinal 3 de $C_2\times C_2$ (les 2-Sylow) chacun formé avec une symétrie par rapport à une diagonale, une symétrie par rapport à l'apothème perpendiculaire et la symétrie centrale.
$n=10$ $Hol(C_5)=C_5\rtimes_{\mathrm{id}}Aut(C_5)\simeq C_5\rtimes C_4$ d'ordre 20, c'est-à-dire le produit semi-direct de $C_5$ par son groupe d'automorphismes : deux classes de cardinal 5 l'une de sous-groupes $C_4$ (les 2-Sylow) et l'autre de sous-groupes $C_2$ (qui sont les carrés des précédents).
etc.
Alain