Quelques questions sur les espaces affines
Bonjour,
Je me pose la question de la distance d'un point quelconque de l'espace à un hyperplan en géométrie affine et euclidienne.
Dans la théorie des espaces vectoriels euclidiens, on sait que tout hyperplan H est caractérisée par une équation de la forme :
$ \omega \cdot x = 0 $ où $\omega$ est un vecteur orthogonal appartenant à l'orthogonal de $H$, et $x$ est un vecteur de H.
Maintenant, que se passe-t-il dans un espace affine associé à un espace vectoriel euclidien ?
Un hyperplan $H'$ affine se définit par l'équation $ \omega \cdot x = b $ où $b$ est un réel, puis on dit que $\omega$ est orthogonal à $H'$ mais pourquoi ?
Aussi, quelqu'un peut me dire comment se traduit la décomposition en somme directe d'un espace vectoriel euclidien E en un sous espace euclidien F et son orthogonal F' ?
Merci pour vos réponses
Je me pose la question de la distance d'un point quelconque de l'espace à un hyperplan en géométrie affine et euclidienne.
Dans la théorie des espaces vectoriels euclidiens, on sait que tout hyperplan H est caractérisée par une équation de la forme :
$ \omega \cdot x = 0 $ où $\omega$ est un vecteur orthogonal appartenant à l'orthogonal de $H$, et $x$ est un vecteur de H.
Maintenant, que se passe-t-il dans un espace affine associé à un espace vectoriel euclidien ?
Un hyperplan $H'$ affine se définit par l'équation $ \omega \cdot x = b $ où $b$ est un réel, puis on dit que $\omega$ est orthogonal à $H'$ mais pourquoi ?
Aussi, quelqu'un peut me dire comment se traduit la décomposition en somme directe d'un espace vectoriel euclidien E en un sous espace euclidien F et son orthogonal F' ?
Merci pour vos réponses
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Aussi que-veux-tu dire par "comment se traduit la décomposition en somme directe ... " ? Tout vecteur $x$ de $E$ se décompose de manière unique en $x=y+z$ avec $y\in F$ et $z\in F^{\perp}$ ($y$ s'appelle la projection orthogonale de $x$ sur $F$).
Si on se donne une droite $\mathscr D$ dirigée par une droite vectorielle $D$ dans un plan affine euclidien et un point $A$ de ce plan, il existe une unique droite perpendiculaire à $\mathscr D$ qui passe par $A$. C'est la droite de direction $D^\perp$ qui contient $A$.
Plus généralement, si on se donne un sous-espace affine $\mathscr F$ dirigé par un sous-espace vectoriel $F$ dans un espace affine euclidien et un point $A$ de cet espace, il existe un unique sous-espace vectoriel perpendiculaire affine orthogonal à $\mathscr F$ qui passe par $A$ et de dimension maximale pour ces propriétés : c'est le sous-espace de direction $F^\perp$ qui contient $A$.
Par ailleurs, quelle est ta définition de "perpendiculaire" ? Ne parlerais-tu pas de "deux plans perpendiculaires dans l'espace de dimension 3" ? Ou alors est-ce synonyme d'orthogonal pour toi ?
Considérons $E$ un espace vectoriel euclidien. Soit $H$ un hyperplan de $E$. Soit $\omega$ un vecteur de $E$ et orthogonale à tout vecteur de $H$. Alors, il vient que $E = H \bigoplus \text{Vect} \omega$. i.e : $ \forall x \in E \ \ \exists (h, \lambda) \in H\times\mathbb{R} \ \ \ \ x = h + \lambda \frac{ \omega }{ \left \| \omega \right \| } $. La question que je me pose est comment retrouver cette dernière égalité formellement dans un espace affine afin de déterminer la distance d'un point d'un espace affine à un sous espace affine (comme un hyperplan par exemple).
On note $\varepsilon$ un espace affine de direction $E$ , $H'=\{ P \in \varepsilon \text{ de vecteurs coordonnées } p \in E ; \omega \cdot p + b =0 \}$ un hyperplan affine de direction $H$.
Soit $A$ un point de $\varepsilon$ de vecteurs de coordonnées $a$. Je m'intéresse à la distance entre ce point et $H'$, qu'on note $d(A,H')$.
Un résultat est :
$d(A, H') = \min_{M \in H'} d(A,M) = \min_{M \in H'} \left \| \vec{AM} \right \| $
L'idée est d'obtenir une formule qui quantifie cette distance à l'aide de l'équation de $H'$.
On se donne r un vecteur associé à un point R de $H'$ et $\lambda$ un réel tel que $a = r + \lambda \frac{ \omega }{ \left \| \omega \right \| } $.
Alors, $r = a - \lambda \omega $ ce qui signifie que $\omega \cdot r + b = 0$ autrement dit $\omega \cdot a - \omega \cdot (\lambda \frac{ \omega }{ \left \| \omega \right \| } ) + b = 0$. D'où :
$\lambda = \frac{1}{ \left \| \omega \right \| } (\omega \cdot a + b)$
Mais $\lambda$ est justement la distance entre A et $H'$.
J'aimerais savoir si ma preuve est bonne au regard du vocabulaire des espaces affines. Je viens à peine de m'y mettre et c'est un peu déroutant (surtout que je le bosse seul de mon côté) de découvrir cette théorie plus formellement qu'au lycée sachant qu'en prépa on a essentiellement travaillé sur des espaces vectoriels (notion d'origine etc).
Merci encore