Projection sur $\mathbb{R}_k [X]$

mathematoc · October 2018

Bonjour

Soit $n$ un entier naturel non nul et $k$ un entier au plus égal à $n$.
Soit $Y$ un polynôme de $\mathbb{R}_n [X]$. Soit $L=(L_0,L_1,\ldots,L_n)$ une base de ce dernier et $<\cdot,\cdot>$ le produit scalaire qui la rend orthonormale.
Soit $P_k$ le projeté orthogonal de $Y$ sur $\mathbb{R}_k [X]$. On a bien $P_k = \sum_{i=0}^k <Y,L_i>L_i$ non ?
Merci.

gerard0 · October 2018

Bonjour.

A priori non, il n'y a aucune raison que les $L_i$ de 0 à k soient dans $\mathbb{R}_k [X]$.

Cordialement.

mathematoc · October 2018

Benh oui évidemment merci Gerard! C'est ce qui me bloquait dans un exo, où justement $L$ est la base de Lagrange, dont tous les éléments sont de degré $n$, donc pas dans $\mathbb{R}_k [X]$ en effet Par contre si $L$ était constitué de polynômes de degrés échelonnés, ce serait donc juste, si je ne m'abuse.

gerard0 · October 2018

A condition que les $L_i$ soient les bons, qu'ils constituent une base de $\mathbb{R}_k [X]$, oui.

mathematoc · October 2018

Oui mais sauf erreur, si $L$ est constituée de polynômes de degrés échelonnés, pour tout entier naturel $i$ au plus égal à $k$, $L_i$ est dans $\mathbb{R}_k [X]$ et $(L_i)_{ 0 \leq i \leq k}$ étant libre, c'est aussi une base de $\mathbb{R}_k [X]$.

gerard0 · October 2018

Ah, c'est ta définition de base de polynômes de degrés échelonnés, d'accord.

mathematoc · October 2018

oui merci Gerard!!

Projection sur $\mathbb{R}_k [X]$

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