Image réciproque d'un idéal par un morphisme

Bonjour
Je cherche à démontrer la proposition suivante.

L'image réciproque par un morphisme d'anneau de tout idéal de l'ensemble d'arrivée est un idéal de l'ensemble de départ. On posera $I$ l'idéal de l'ensemble d'arrivée. et $ f :A \longrightarrow\ A'$

Pour montrer qu'il s'agit d'un idéal il est nécessaire de montrer que $f(I)^{-1}$ est un sous-groupe additif, j'ai déjà démontré la stabilité.
Soit $(x,y) \in f(I)^{-1}$ alors $\exists x',y' \in I $ tel que $f(x)=x'$ et $f(y)=y'$ or $x'+y' \in I$ car $I$ est un idéal d’où $x'+y'=f(x)+f(y)=f(x+y)$ ainsi $x+y \in f(I)^{-1}$ d'où la stabilité.

Le problème se pose maintenant, il faut que je montre que tout élément est inversible pour montrer que $f(I)^{-1}$ est un sous-groupe.
J'ai commencé de cette manière.
Soit $x\in f(I)^{-1}$ alors $ \exists x' \in I$ tel que $f(x)=x'$ or $I$ est un groupe d'où $\exists x'^{-1}$ tel que $x'+x'^{-1}=0_{A'}$ et $\exists l \in f(I)^{-1} $ tel que $f(l)=x'^{-1}$ d'où $f(x)+f(l) =0_{A'}$, comme il s'agit d'un morphisme $f(x+y) =0_{A'}$ ...
Je ne sais pas si c'est le bon cheminement mais je n'arrive pas à aboutir... Si $f$ était injective je pourrais conclure mais cependant cela ne fait pas partie des hypothèses de la proposition. Si quelqu'un pouvait m'aiguiller sur la bonne démarche à suivre ou me proposer une démonstration correcte je le remercie d'avance.

P.S: j'arrive à démontrer l’absorption, le problème est seulement pour montrer que $f(I)^{-1}$ est un sous-groupe additif. En fait j'ai l'impression que la proposition est fausse si quelqu'un pouvait confirmer sa véracité dans un premier temps...