Matrice symétrique

Raptorchan · November 2018

Bonjour,

À un moment dans un exercice de maths on introduit une matrice symétrique positive S et on dit ceci :
"Si pour tout X dans Rⁿ on a X^tSX=0 alors X appartient au noyau de S".

J'aimerais comprendre pourquoi.
Merci d'avance pour votre réponse
Cordialement
Chan

PS : la transposée est sur le X pas sur le S bien sûr.

john_john · November 2018

Par exemple, parce que $S$ se met sous la forme $^tMM$ ; à toi de conclure !

Cordialement, j__j

Variante : si $^tXSX=0$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz montre que $^tYSX=0$ pour toute colonne $Y$ et il reste à choisir $Y$ convenablement.

P. · November 2018

Sans perte de generalite $S=\mathrm{diag}(s_1,\ldots,s_n)$ avec les $s_i>0.$ Donc $s_1x_1^2+\cdots+s_nx_n^2=0\Rightarrow x_1^2=\ldots=x^2_n=0.$

Raptorchan · November 2018

Bonjour,

la matrice S est seulement symétrique positive, et non définie positive, c'est ça le problème

rakam · November 2018

Bonjour !
Moi j'ai du mal à comprendre ton "Si pour tout $X\in\R^n$ ... alors $X$ etc..."

Raptorchan · November 2018

Bonjour !

Désolé c'est plutôt "si X vérifie X'SX=0 alors X appartient au noyau de S"

P. · November 2018

Sans perte de generalite on suppose $S=\mathrm{diag}(s_1,\ldots,s_k,0,\ldots,0)$ avec $s_i>0$ et donc $0=X^TSX=s_1x_1^2+\cdots+s_kx_k^2$ si et seulement si $X^T=(0,\ldots,0,x_{k+1},\ldots,x_n)$, cad si et seulement si $X$ est dans le noyau de $S.$

Matrice symétrique

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