Forme quadratique_exercice

angellynx · November 2018

Bonjour à tous
Je suis en pleine révision d’algèbre et je bloque à une question ! Voici.

On se place dans l’espace vectoriel E des matrices 2x2 muni de la base E₁₁, E₁₂ ...
On note I la matrice identité et

A = a  b
    c  d

Phi (M,N) = Tr(MAN)
Donc pour

M= ( x  y )
   ( z  t )

La forme quadratique est
q(M) = ax²+(cy+bz)(z+t)+(a+d)yz+dt²

De plus je remarque que si A est la matrice identité alors phi est symétrique.

On me demande maintenant de trouver B la matrice de q dans les bases E₁₁, E₂₁, E₂₂, E₁₂.
Et je bloque ...
Je sais que la matrice d’une forme quadratique est la matrice de sa forme polaire
Mais je n’arrive pas à trouver la forme polaire.
Merci d’avance ...

Poirot · November 2018

Tu as donné la forme polaire juste au-dessus :-D C'est ton $\Phi$.

angellynx · November 2018

Lorsque j’ai calculé la forme polaire avec la formule
(q(x+y)-q(y)-q(y) /2
J’en n’ai pas du tout trouvé phi .. Pourquoi phi est la forme polaire .. je ne comprends pas bien

GaBuZoMeu · November 2018

$\Phi$ n'est pas la forme polaire, puisque qu'elle n'est pas a priori symétrique.

Poirot · November 2018

Oui en effet j'ai lu en diagonale. Bon si tu disposes de la forme quadratique, tu peux calculer sa forme polaire avec la formule que tu as écrite. Il ne te reste plus qu'à calculer $10$ petites valeurs ;-)

AP · November 2018

Bonjour
une variante : comme déjà dit, la forme bilinéaire $tr(MAN)$ n'est pas symétrique (sauf si $A=kI$) mais rien n'empêche de chercher sa matrice $C$ dans la base donnée des $E_{i,j}$.
Il faut donc calculer les 16 $tr(E_{i,j}AE_{i',j'})=tr(AE_{i',j'}E_{i,j})$ : vu les règles de calculs sur les $E_{i,j}$, on voit toute suite que 8 de ces 16 coefficients de $C$ sont nuls, et il ne reste que 8 coefficients à calculer et en 10 mn environ on trouve 2 fois $a$, 2 fois $b$, 2 fois $c$, 2 fois $d$.
$C$ n'est pas symétrique (en général), mais la règle de dédoublement te permet de trouver la matrice symétrique $B$ demandée, $B$ et $C$ donnant la même forme quadratique $q(M)$.

Remarques :
1) les matrices $\begin{pmatrix}
3& 6\\
2& 2
\end{pmatrix}\ $ et $\ \begin{pmatrix}
3& 4\\
4& 2
\end{pmatrix}$ donnent la même forme quadratique $3x^2+2y^2+8xy$

2) dans ton $q(M)$ je pense que le $z+t$ doit être $x+t$