Algèbre de Lie de dimension 2

xvi · November 2018

Bonjour

Je suis perturbé par un truc absolument débile (peut être une histoire de notation)

Je sais que si une algèbre de Lie $A$ est non abélienne de dimension 2 alors le crochet de Lie peut être définie par :

$[x,y]=y$ où $\{x,y\}$ est une base de $A$ mais alors par antisymétrie , on aurait toujours $x=[y,x]=-[x,y]=-y$ et même $x=[x,x]=0$.

Quelle est donc l’énormité qui m'échappe ?

Math Coss · November 2018

Tu interprètes un peu trop largement l'antisymétrie, qui signifie simplement que permuter les éléments d'un crochet revient à le multiplier par $-1$.

Ainsi, la relation $[y,x]=-[x,y]=-y$ résulte bien de $[x,y]=y$ mais la relation $[y,x]=x$ est complètement fantaisiste. L'énoncé est : « il existe une base (ordonnée) $(x,y)$ telle que $[x,y]=y$ » et pas « pour toute base $(x,y)$, on a $[x,y]=y$ »...

Lupulus · November 2018

Pourquoi on aurait $x = [y,x]$ ?

xvi · November 2018

Math Cross a écrit:

L'énoncé est : « il existe une base (ordonnée) (x,y) telle que [x,y]=y » et pas « pour toute base (x,y), on a [x,y]=y »

Merci, voilà où je me mélangeais.

Algèbre de Lie de dimension 2

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