Le corps $GF(3)[x]/(x^2+2)$

Tu emploies des notations non standard (ou du moins anglaises). J'imagine que ton $GF(3)$ désigne $\mathbb F_3$, le corps fini à 3 éléments ? Et $GF(3)[x]_{x^2+2}$ désigne $$\mathbb F_3[X]/(X^2+2)$$ ? Si c'est bien le cas attention, ce n'est pas égal à $$\{0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2x, 2x + 1, 2x + 2\}$$ mais à $$\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{X}, \overline{X + 1}, \overline{X + 2}, \overline{2X}, \overline{2X + 1}, \overline{2X + 2}\},$$ où la barre désigne la classe d'équivalence dans le quotient. Ce n'est pas du tout la même chose. En particulier, bien que dans les deux quotients $$\mathbb F_3[X]/(X^2+2)$$ et $$\mathbb F_3[X]/(X^2)$$ tu n'aies à considérer que les classes des polynômes de degré strictement inférieurs à $3$ et à coefficients dans $\mathbb F_3$ (à cause de l'existence d'une division euclidienne dans $\mathbb F_3[X]$), les opérations ne sont pas du tout les mêmes ! En particulier, ce dernier quotient n'est pas intègre puisque $\overline{X} \times \overline{X} = \overline{0}$ alors que le premier est un corps !

Si $P \in \mathbb F_3[X]$ alors par définition la classe de $P$ dans le quotient $\mathbb F_3[X]/(X^2+2)$ est l'ensemble $$\overline{P} = \{Q \in \mathbb F_3[X] \mid X^2+2 \text{ divise } Q-P\}.$$ Il est facile de voir qu'alors $\overline{P} = \overline{R}$ où $R$ est le reste dans la division euclidienne de $P$ par $X^2+2$. Toujours par définition, $\mathbb F_3[X]/(X^2+2)$ est l'ensemble de ces classes d'équivalence. Avec la remarque que j'ai faite juste au-dessus, on en déduit qu'il s'agit exactement de $\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{X}, \overline{X + 1}, \overline{X + 2}, \overline{2X}, \overline{2X + 1}, \overline{2X + 2}\}.$

On définit dans ce quotient l'addition par $\overline{P} + \overline{Q} = \overline{P+Q}$ et la multiplication par $\overline{P} \times \overline{Q} = \overline{P \times Q}.$ On vérifie que ces opérations sont bien définies (elles ne dépendant pas des représentants des classes). Si au lieu de $X^2+2$, on avait quotienté par (l'idéal engendré par) un polynôme irréductible dans $\mathbb F_3[X]$, le quotient aurait été un corps.

Enfin, oui $\mathbb F_3[X]/(X^2)$ n'est pas un corps car il n'est même pas intègre $\overline X$ est un diviseur de zéro dans cet anneau. $\mathbb F_3[X]/(X^2+2)$ non plus, tu peux vérifier que $\overline{X+1} \times \overline{X+2} = \overline{0}$.

Quel est le reste dans la division euclidienne de $X^2$ par $X^2+2$ ? Et dans celle de $X^2+2$ par $X^2+2$ ?

Je te laisse démontrer qu'un corps est toujours un anneau intègre, c'est un exercice immédiat de première année.