Le corps $GF(3)[x]/(x^2+2)$
Bonjour,
Alors voilà $GF(3)[x]_{x^2+2} = \{0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2x, 2x + 1, 2x + 2\}$
Mais du coup, si je comprends bien pour construire un $GF(n)[x]_{a(x)}$ il suffit de prendre tous les polynômes dont les coefficients sont inférieurs à $n$ et du degré maximal de $a(x)$ ? Mais alors quelle différence entre l'exemple ci-dessus et $GF(3)[x]_{x^2}$ ? Ça n'a pas de sens qu'ils soient similaires.
Et alors qu'en est-il de $GF(3)[x]_{x^2+2}[y]$ ? J'ai vraiment de la peine avec cette hiérarchie de gauche à droite, est-ce que vous sauriez comment déterminer tous les éléments de ce genre de corps avec 2 variables ? C'est le maximum que je dois maîtriser.
Merci d'avance.
Alors voilà $GF(3)[x]_{x^2+2} = \{0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2x, 2x + 1, 2x + 2\}$
Mais du coup, si je comprends bien pour construire un $GF(n)[x]_{a(x)}$ il suffit de prendre tous les polynômes dont les coefficients sont inférieurs à $n$ et du degré maximal de $a(x)$ ? Mais alors quelle différence entre l'exemple ci-dessus et $GF(3)[x]_{x^2}$ ? Ça n'a pas de sens qu'ils soient similaires.
Et alors qu'en est-il de $GF(3)[x]_{x^2+2}[y]$ ? J'ai vraiment de la peine avec cette hiérarchie de gauche à droite, est-ce que vous sauriez comment déterminer tous les éléments de ce genre de corps avec 2 variables ? C'est le maximum que je dois maîtriser.
Merci d'avance.
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Réponses
Mais dans mon cours il n'est pas question de cette barre. L'égalité que j'ai écrite y est telle quelle. Mais je suppose que c'est pour nous simplifier la tâche.
Par classe d'équivalence dans le quotient, tu veux dire que c'est la valeur du quotient de la division d'un membre de $F_3[x]$ par $x^2 + 2$ ?
Donc $F_3[x]_{x^2 }$ n'est pas un corps car il possède un diviseur de 0 ?
[Évariste Galois (1811-1832) mérite sa majuscule et le respect de son patronyme. AD]
On définit dans ce quotient l'addition par $\overline{P} + \overline{Q} = \overline{P+Q}$ et la multiplication par $\overline{P} \times \overline{Q} = \overline{P \times Q}.$ On vérifie que ces opérations sont bien définies (elles ne dépendant pas des représentants des classes). Si au lieu de $X^2+2$, on avait quotienté par (l'idéal engendré par) un polynôme irréductible dans $\mathbb F_3[X]$, le quotient aurait été un corps.
Enfin, oui $\mathbb F_3[X]/(X^2)$ n'est pas un corps car il n'est même pas intègre $\overline X$ est un diviseur de zéro dans cet anneau. $\mathbb F_3[X]/(X^2+2)$ non plus, tu peux vérifier que $\overline{X+1} \times \overline{X+2} = \overline{0}$.
Mais alors on est d'accord qu'un reste peut être toutes les valeurs entre 0 et le quotient, pourquoi nous n'avons pas de classe d'équivalence pour $x^2$ et $x^2 + 2$ ?
Es-tu sûr que les diviseurs de zéro sont à bannir dans les corps ? Un corps n'est pas un anneau non-trivial commutatif dont tous les éléments non-nuls possèdent un inverse multiplicatif ?
Un domaine intègre (je ne sais pas si cela s'appelle comme ça en français) c'est un anneau non-trivial commutatif sans diviseur de 0. Je ne vois donc pas en quoi l'un empêche l'autre.
Je te laisse démontrer qu'un corps est toujours un anneau intègre, c'est un exercice immédiat de première année.
Je comprends maintenant.
Et d'accord pour la démonstration. Mais est-ce que mes définitions sont justes ?