Contenu d'un polynôme

Soit $d$ un diviseur de $c(mA)$ et $m$. Alors $mA = dP$ pour un $P$ à coefficients entiers; en divisant par $d$ on a $\frac{m}{d} A = P$, donc $\frac{m}{d}A$ est à coefficients entiers

Notons $\frac{c_0}{d_0}, \dots, \frac{c_n}{d_n}$ les coefficients de $A$ avec $c_i$ premier avec $d_i$ pour $0 \leq i \leq n$.. Alors $m$ est le PPCM des $d_i$, et $c(mA)$ est le PGCD des $\frac{m}{d_i} c_i$. Si $p$ est un facteur premier de $m$, c'est un facteur premier d'au moins l'un des $d_i$ avec exposant maximal et alors $\frac{m}{d_i}$ est premier avec $p$, et $c_i$ aussi puisque $p$ divise $d_i$ et que $d_i$ et $c_i$ sont premiers entre eux.

Donc $m$ et $c(mA)$ n'ont pas de facteurs premiers communs : ils sont premiers entre eux.