Groupe de monodromie d'une ED.

Pablo_de_retour · November 2018

Bonsoir à tous,

Je ne suis qu'un simple débutant en théorie des $ \mathcal{D} $ - modules, et j'aimerais vous poser deux questions portant sur ce domaine :

- Qu'est ce qu'on entend par : ''analytic continuation along a path : $ \gamma \ : \ [0,1] \to \Omega $ from : $ a = \gamma(0) $ to $ b = \gamma (1) $ '' ( locution angliciste ) lorsqu'il est question de groupe de monodromie d'une équation différentielle ?

- Comment détermine-t-on le groupe de monodromie relatif à l'équation différentielle suivante :
$$ ( \mathcal{C} ) \ : \ y' (z) = \dfrac{1}{z} y(z) $$

Merci pour votre aide.

reuns · November 2018

L'idée est la même que pour les équations algébriques.

Essaye avec $\forall z, F(z)^n = z$. Prends une branche de $F$ qui soit analytique sur $|z-1| < 1$.

Soit $\gamma : 1 \to 1$ une courbe fermée ne passant pas par $z=0$ et $F^\gamma$ la fonction analytique sur $|z-1| < 1$ obtenue en prolongeant $F$ analytiquement le long de $\gamma$.

Peux-tu expliciter les différentes $F^\gamma$ et les classes de $\gamma$ correspondantes ? En quoi $F \mapsto F^\gamma$ définit une loi de groupe et quelle est-elle ?

Pablo_de_retour · November 2018

Merci. Mais il faut aller un peu doucement. Je ne comprends rien à ton exercice. Qui te dit que je connais l'idée pour les équations algébriques ? :-) Je n'ai appris ça nulle part.

Je prends une branche de $ F $ sur le disque : $ D(1,1) $ ( Par branche de $ F $, tu entends, une détermination de $ F $, non ? ) :

... Je ne suis pas capable de faire ton exo ...

Où je peux apprendre ça ? Dans quel livre ?

reuns · November 2018

Le prolongement analytique c'est le concept de base de l'analyse complexe (l'étude des fonctions analytiques).

Dans mon exo tu pars de la détermination usuelle de $F(z) = z^{1/n}$ analytique autour de $z=1$ et $F(1) = 1$.
Son prolongement analytique en faisant un tour complet autour de $z=0$ dans le sens trigonométrique c'est $F^{\gamma_1}(z) = e^{2i \pi / n} F(z)$, où $\gamma_1$ c'est la courbe $\gamma_1(t) = e^{2i \pi t}, t \in [0,1]$ ou n'importe quelle courbe de $1 \to 1$ qui fait un tour dans le sens trigonométrique.

Si $\gamma_k(t) = e^{2i \pi kt}, t \in [0,1]$ ou n'importe quelle courbe de $1 \to 1$ qui fait $k$-tours ($k$ peut être négatif) alors $F^{\gamma_k}(z) = e^{2i \pi k/ n} F(z)$.

Donc le groupe qui apparaît c'est celui des racines $n$-èmes de l'unité, ou plutôt un morphisme du groupe d'homotopie de $\mathbb{C}^*$ vers le groupe des des racines $n$-èmes de l'unité.

Pour les équations algébriques, ce groupe qui apparaît c'est en fait le groupe de Galois du polynôme $\in \mathbb{C}(z)[Y]$ dont $F$ est solution

Si maintenant on était parti de l'ED $Y'(z) = \frac{1}{z}$ alors on aurait eu $Y(z) = \log(z)$ et on aurait vu apparaître le groupe $F(z) \mapsto F(z)+2i\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Dans mes exemples la fonction avait un unique point de branchement en $z=0$, en général $Y(z)$ peut en avoir plusieurs et le groupe qui apparaît n'est pas forcément commutatif.

Pablo_de_retour · November 2018

Merci reuns. :-)

reuns a écrit:

Dans mon exo tu pars de la détermination usuelle de $F(z) = z^{1/n}$ analytique autour de $z=1$ et $F(1) = 1$.
Son prolongement analytique en faisant un tour complet autour de $z=0$ dans le sens trigonométrique c'est $F^{\gamma_1}(z) = e^{2i \pi / n} F(z)$, où $\gamma_1$ c'est la courbe $\gamma_1(t) = e^{2i \pi t}, t \in [0,1]$ ou n'importe quelle courbe de $1 \to 1$ qui fait un tour dans le sens trigonométrique.

Comment tu fais reuns pour obtenir $F^{\gamma_1}(z) = e^{2i \pi / n} F(z)$ comme prolongement analytique de la détermination usuelle de $F(z) = z^{1/n}$ analytique autour de $z=1$ telle que $F(1) = 1$ ?

Comment fais tu pour obtenir concrètement la détermination usuelle de $F(z) = z^{1/n}$ analytique autour de $z=1$ telle que $F(1) = 1$ ? Dans certains cours sur le net, ils posent cette détermination sous forme d'une série entière convergente sur un petit disque, et ils vérifient si ça vérifie : $ (F(z))^n = z $. Par exemple, pour la détermination usuelle du logarithme, ils la prennent sous forme : $ F(z) = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} (z-1)^n $. $ F $ est analytique sur $ D(1,1) $, et vérifie : $ F(1) = 0 $ et aussi : $ \mathrm{exp} ( F(z) ) = z $. Mais ils ne précisent pas comment ils déterminent $ F $ sous la forme : $ F(z) = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} (z-1)^n $. C'est un peu ambigu ça.

Merci pour l'aide.

reuns · November 2018

$F(z) = z^{1/n}$ c'est $F(r e^{it}) = r^{1/n} e^{it/n}$ où tout dépend de l'intervalle où on prend $t$ (la détermination usuelle c'est avec $t \in (-\pi,\pi)$).

Pablo_de_retour · November 2018

Oui, j'ai compris le principe en lisant l'exemple 5.1.4 qui figure à la page : 35 du lien suivant : https://www.math.univ-toulouse.fr/~sauloy/PAPIERS/GalDiffWuhan.pdf

Merci en tout cas. :-)

Pablo_de_retour · November 2018

reuns a écrit:

Donc le groupe qui apparaît c'est celui des racines $n$-èmes de l'unité, ou plutôt un morphisme du groupe d'homotopie de $\mathbb{C}^*$ vers le groupe des des racines $n$-èmes de l'unité.

Le groupe de monodromie est alors le groupe des transformations : $ F(z) \to e^{2 i \pi k / n } F(z) $, non ?

Mais, je ne comprends pas une chose :

Soient $ \gamma_1 , \gamma_2 $ deux chemins homotopes de $ 1 $ vers $ 1 $ ( i.e : $ \gamma_1 \sim \gamma_2 $ ).
Alors : $ \gamma_1 \sim \gamma_2 \ \ \Longrightarrow \ \ F^{ \gamma_{1} } (z) = F^{ \gamma_{2} } (z) $, non ?
D'où, on a un morphisme : $ \varphi \ : \ \pi_1 ( \mathbb{C}^{*} , 1 ) \to \mathrm{Aut}_{ \mathbb{C} } ( \mathcal{O}_1 ) $ défini par : $ \varphi ( [ \gamma ] ) = F^{ \gamma } (z) = e^{2 i \pi k / n } F(z) $ avec : $ \mathcal{O}_1 = \mathbb{C} \{ \ z - 1 \ \} $, non ?.
On a : $ \pi_1 ( \mathbb{C}^* ) = \pi_1 ( S^1 , 1 ) = \mathbb{Z} $, non ? D'où le morphisme $ \varphi $ devient : $ \varphi \ : \ \mathbb{Z} \to \mathrm{Aut}_{ \mathbb{C} } ( \mathcal{O}_1 ) $ défini par : $ \varphi ( k ) = F^{ k } (z) = e^{2 i \pi k / n } F(z) $, non ?
Et il est claire que : $ \tau \ : \ \mu_n \to \mathrm{Aut}_{ \mathbb{C} } ( \mathcal{O}_1 ) $ défini par : $ \tau ( e^{2 i \pi k / n } ) = e^{2 i \pi k / n } F(z) $ est un isomorphisme, d'où, $ \varphi $ devient : $ \varphi \ : \ \mathbb{Z} \to \mu_n $ défini par : $ \varphi (k) = e^{2 i \pi k / n } $, non ?
Mais, où est caché le groupe de monodromie à part de dire que c'est le groupe des transformations : $ F(z) \to e^{2 i \pi k / n } F(z) $ ? C'est : $ \pi_1 ( \mathbb{C}^{*} , 1 ) = \mathbb{Z} $ ou bien : $ \mathrm{Aut}_{ \mathbb{C} } ( \mathcal{O}_1 ) $ ?

Merci d'avance.

edit :

D'accord reuns, puisque tu affirmes que le groupe des transformations : $ \varphi (k) \ : \ F(z) \to e^{ 2 \pi i k / n } F(z) $ est le groupe $ \mu_n $, alors, le groupe de monodromie est : $ \mathrm{Aut}_{ \mathbb{C} } ( \mathcal{O}_1 ) $, non ? :-)

Groupe de monodromie d'une ED.

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