Transformée de Satake
Je lis les notes de Benedict Gross sur l'isomorphisme de Satake, disponible ici (en anglais). Je suis bloqué au début de la section 3 sur la transformée de Satake.
Contexte : soit $\underline{G}$ un groupe algébrique connecté réductif, $F$ un corps local et $A$ son anneau des entiers. Soit $G = \underline{G}(F)$ et $K = \underline{G}(A)$. Maintenant si $\underline{C}$ est un groupe algébrique défini sur $F$ on note $C = \underline{C}(F)$ par abus de notation. On fixe une décomposition $T \subset B \subset G$ avec $T$ un tore maximal, $B$ un Borel. Soit $N$ le radical unipotent de $B$. On note $dn$ l'unique mesure de Haar sur $N$ telle que $\mathrm{vol}\big(N(A)\big) = 1$. On obtient une fonction $\delta : B \to \Bbb R_+$ définie par $\delta(b)dn = d(bnb^{-1})$. Clairement $\delta(n) = 1$ si $n \in N$ et donc on obtient un caractère $\delta : T \to \Bbb R_+$.
Maintenant, soit $\pi \in A$ un élément uniformisant et $\mu : \Bbb G_m \to T$ un cocaractère. On obtient un élément $t = \mu(\pi) \in T$.
Question 1 : pourquoi a-t-on la chaîne d'égalités suivante (on prend la détermination positive de la racine carrée) : $$
\delta^{1/2}(t) = |\text{det}(\text{ad}(t)|\text{Lie}(N))|^{1/2} = |\pi^{\langle \mu ,2\rho}|^{1/2} = q^{- \langle \mu, \rho \rangle}
$$ Question 2 : Est-ce que quelqu'un pourrait écrire ce qu'il se passe sur un exemple, disons $SL_2$ et $F = \Bbb F_q((\pi)), A = \Bbb F_q\pi$.
Contexte : soit $\underline{G}$ un groupe algébrique connecté réductif, $F$ un corps local et $A$ son anneau des entiers. Soit $G = \underline{G}(F)$ et $K = \underline{G}(A)$. Maintenant si $\underline{C}$ est un groupe algébrique défini sur $F$ on note $C = \underline{C}(F)$ par abus de notation. On fixe une décomposition $T \subset B \subset G$ avec $T$ un tore maximal, $B$ un Borel. Soit $N$ le radical unipotent de $B$. On note $dn$ l'unique mesure de Haar sur $N$ telle que $\mathrm{vol}\big(N(A)\big) = 1$. On obtient une fonction $\delta : B \to \Bbb R_+$ définie par $\delta(b)dn = d(bnb^{-1})$. Clairement $\delta(n) = 1$ si $n \in N$ et donc on obtient un caractère $\delta : T \to \Bbb R_+$.
Maintenant, soit $\pi \in A$ un élément uniformisant et $\mu : \Bbb G_m \to T$ un cocaractère. On obtient un élément $t = \mu(\pi) \in T$.
Question 1 : pourquoi a-t-on la chaîne d'égalités suivante (on prend la détermination positive de la racine carrée) : $$
\delta^{1/2}(t) = |\text{det}(\text{ad}(t)|\text{Lie}(N))|^{1/2} = |\pi^{\langle \mu ,2\rho}|^{1/2} = q^{- \langle \mu, \rho \rangle}
$$ Question 2 : Est-ce que quelqu'un pourrait écrire ce qu'il se passe sur un exemple, disons $SL_2$ et $F = \Bbb F_q((\pi)), A = \Bbb F_q\pi$.
Réponses
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Le $\langle \mu , \alpha \rangle$ c'est $\mu \in Hom(F^\times,T), \alpha\in Hom(T,F^\times) $ donc $\alpha \circ \mu \in Hom(F^\times,F^\times)$ donc $|\alpha \circ \mu(x)| = |x|^n$ et on pose $\langle \mu , \alpha \rangle= n$ ?
Si $F$ est un corps local (muni d'une valuation discrète) alors $n \in \mathbb{Z}$.
[small]Quand il dit $Hom(\mathbb{G}_m,\mathbb{G}_m)$ je suppose que c'est des morphismes de group sheme donc quelque soit le corps $\alpha \circ \mu(x)= x^{n}$ avec $n \in \mathbb{Q}$[/small] -
Je suis d'accord avec ce que t'as écrit (ici on peut même être plus précis en décomposant $\mu$ en somme de racines simples mais ça n'a sans doute pas d'importance) enfin pas tout à fait parce que $\rho$ est pas vraiment dans $Hom(T,F^*)$ parfois c'est la raçine carré d'un morphisme, c'est pour ça qu'on prends $2\rho$.
Ceci dit la dernière égalité c'est équivalent à $|\pi^a| := q^{-a}$ ce qui me semble OK. C'est plutôt les deux premières égalités qui ne sont pas 00% clair pour moi. -
Il me semble que ce qu'il te manque c'est une référence pour calculer la fonction module (ou fonction modulaire) d'un sous-groupe de Borel. Est-ce que c'est ça ta question ?
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Est ce que la fonction module c'est ce que tu appelle $\delta^{1/2}$ ? C'est effectivement ce que je voudrais calculer. Mais sauf erreur elle ne dépends que de $T$ non ?
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Oui, la fonction module, appelons-la $\Delta$ de $B$ est triviale sur $N$. L'idée est la suivante. Le groupe $B$ est localement compact donc il admet une mesure de Haar $\mu = \mu_B$, par exemple invariante à gauche : $\mu (bX)=\mu (B)$, pour toute partie $X$ mesurable de $B$ et tout $b$ dans $B$. Elle est unique à un facteur dans ${\mathbb R}_+^\times$ près. Si à présent $b\in B$, la mesure $X\mapsto \mu (Xb)$ est toujours de Haar invariante à gauche. Par unicité, il existe un facteur $\Delta (b)$ telle que $\mu (Xb) =\Delta (b) \mu (X)$, pour $X$ mesurable. Il est facile de voir que $b\mapsto \Delta (b)$ est un caractère de $B$ à valeurs dans ${\mathbb R}_+^\times$ et qu'il est continu. En particulier, si $K$ est un sous-groupe compact de $B$, $\Delta (K)$ est un sous-groupe compact de ${\mathbb R}_+^\times$, donc trivial : la fonction $\Delta$ est triviale sur tout sous-groupe compact de $B$. En particulier elle est triviale sur $T(A)$ qui est le sous-groupe compact maximal de $T$. Le sous-groupe $N$ est connu pour être réunion de ses sous-groupes compacts. Il s'ensuit que $\Delta$ est triviale sur $N$. Donc pour connaître $\Delta$, il suffit de la connaître sur un système de représentants de $T/T(A)$. On a un système de représentants parmi les $\chi (\pi )$, où $\chi$ est un cocaractère de $T$ et $\pi$ une uniformisante du corps de base.
Pour calculer $\Delta (t)$, $t\in T$, il suffit de tester l'égalité $\mu (Xt)=\Delta (t)\mu (X)$, sur une bonne partie de $X$.
A suivre ... -
Un première référence : il y a des choses sur ${\rm GL}(2)$, et souvent sur ${\rm GL}(n)$ dans le livre de Bump "Automorphic forms and representations", Cambrige Studies in Advances Mathematics 55. Je te le conseille vivement avant de regarder le cas général.
Une référence en Français pour toutes les bases techniques de la théorie est le livre de David Renard "Représentations des groupes réductifs p-adiques". Je conseille en particulier le chapitre II. -
Merci beaucoup pour ces réponses qui m'éclaire déjà beaucoup !
Concernant ta première réponse, un petit point n'est pas clair pour moi : dans mes notes $\delta$ est défini en se servant d'une mesure de Haar $dn$ sur $N$, et on demande qu'elle soit invariante par $B$ pour la conjugaison. Est ce que c'est équivalent à avoir une mesure de Haar sur $B$ qui est invariante par multiplication comme tu as utilisé dans ton message ?
Merci encore pour les références et désolé si ma question n'est pas très pertinente. -
Je note $F$ le corps de base. Soit $\Phi$ le système de racines de $T$ dans l'algèbre de Lie de $G$. Pour chaque racine $\alpha\in \Phi$, soit $U_\alpha$ le sous-groupe radiciel de $G$ correspondant. Pour chaque $\alpha$, on fixe un isomorphisme et homéomorphismes de groupes (topologiques) $f_\alpha$ : $U_\alpha \longrightarrow (F,+)$ tel que tel que pour tout $t\in T$ et tout $u\in U_\alpha$, $f_\alpha ({\rm Int}_t (u)) = \alpha (t) f_\alpha (u)$ (${\rm Int}$ désigne un automorphisme intérieur). Soit $\mu_F$ une mesure de Haar fixée sur $(F,+)$. Rappelons que $\mu_F (aX)=\vert a\vert_F \mu_F (X)$, où $\vert . \vert_F$ est la valeur absolue de $F$ normalisée par $\vert \pi \vert_F =1/q$. Pour chaque $\alpha$, soit $\mu_\alpha$ la mesure sur $U_\alpha$ rapatriée par $f_\alpha$.
Soit $\Phi^+$ le système de racines positives formées des $\alpha$ tels que $U_\alpha \subset N$. Alors
$$
N = \prod_{\alpha \in \Phi^+} U_\alpha
$$
pour n'importe quel ordre sur $\Phi^+$. Fixons-en un. Plus exactement l'application produit à laquelle on pense est un homéomorphisme. Soit $\mu_N$ la mesure sur $N$ produit des mesures $\mu_\alpha$, $\alpha\in \Phi^+$. Soit $\mu_T$ une mesure de Haar sur $T$ et $\mu_B$ la mesure produit sur $B$ (l'application produit $T\times N\longrightarrow B$ est un homéomorphisme.
Question 1 Montrer que $\mu_B$ est une mesure de Haar invariante à gauche sur $B$.
Pour $t\in T$, on veut calculer $\Delta (t^{-1})$. Regardons l'ouvert compact $\Omega$ de $B$ donné par
$$
\Omega = T(A) \times \prod_{\alpha\in \Phi^+} f_\alpha^{-1}(A)
$$
Par définition $\mu_ B (\Omega t^{-1})= \Delta (t^{-1})\mu_B (\Omega )$. Mais puisque $\mu_B$ est invariante à gauche, on a aussi $\mu_B (t\Omega t^{-1})=\mu_B ({\rm Int}_t (\Omega )) = \Delta (t^{-1}) \mu_B (\Omega )$.
Question 2 En déduire une formule pour $\Delta (t^{-1})$.
Question 3 Expliciter le résultat pour ${\rm GL}(n)$, ${\rm Sp}_n$, un groupe orthogonal déployé sur $F$.
. -
Ca n'est pas tout-à-fait ça. Justement une mesure de Haar sur $N$, unique à un facteur près, ne sera pas invariante par $B$ par conjugaison ! Par contre si $\mu_N$ est une telle mesure (disons invariante à gauche où à droite, c'est pareil, car $N$ est unimodulaire) et si $t\in T$, puisque $T$ normaliser $N$, $\mu'$ : $X\longrightarrow \mu_N ({\rm Int}_t X)$ est une mesure sur $N$. De plus si $n\in N$, on a $\mu' (nX ) = \mu_N (tnX t^{-1})=\mu_N (tnt^{-1}\, tXt^{-1})$ $=$ $\mu_N (tXt^{-1})$ (par invariance à gauche de $\mu_B$) $=$ $\mu' (X)$. Donc $\mu'$ est invariante à gauche : c'est une mesure de Haar sur $N$ ! Donc il existe $\Delta (t^{-1})$ (disons) tel que $\mu_N ({\rm Int}_t (X))=\Delta (t^{-1}) \mu_N (X)$.
En fait (exercice) ce $\Delta$ est la fonction modulaire de $B$ ! Pour le voir remarque que si $\mu_T$ est une mesure de Haar sur $T$, la mesure produit $\mu_B =\mu_T \otimes \mu_N$, obtenu par l'homéomorphisme $T\times N \simeq B$ est une mesure de Haar à gauche sur $B$. -
Ah oui évidemment je suis bête si c'était invariant par conjugaison alors $\Delta$ serait identiquement $1$ ...
Je n'arrive pas à répondre à la question 1 voilà ce que j'ai essayé :
Tout d'abord on voit que $\mu_N$ est une mesure de Haar sur $N$. Donc on doit juste vérifier que $\mu_B = \mu_T \times \mu_N$ est $B$-invariante pour la multiplication à gauche. Il suffit de voir qu'elle est $T$-invariante et $N$-invariante comme $TN = B$.
Soit $X \subset T \times N$ mesurable : on peut supposer que $X = X_1 \times X_2$ pour $X_1 \subset T, X_2 \subset N$ des sous-ensembles mesurables. Maintenant on a $\mu_B(tX) = \mu_T(tX_1) \times \mu_N(X_2) = \mu_B(X)$ donc $\mu_B$ est bien $T$-invariante. Ensuite j'ai $nX_1X_2 = nX_1n^{-1}nX_2$ et là avec beaucoup de chance $nX_1n^{-1} \subset T$ et $\mu_T(nX_1n^{-1}) = \mu_T(X_1)$ ce qui permetterait de conclure mais je ne pense pas que c'est vrai (et si c'est vrai je ne sais pas pourquoi).
Mais avant de continuer, je pense que je vais lire les documents que tu m'as donné, merci encore pour l'aide et je reviendrais quand je serais plus à l'aise avec tout ça. -
J'y suis allé un peu fort avec ma question 1. Il y a du travail en fait. Je vais réfléchir à des indications. On peut l'admettre dans un premier temps.
-
D'accord, j'admet 1 et j'essaye 2.
Tout d'abord on peut supposer que nos mesures de Haar sur $T$ et $N$ vérifient $\mu_T(T(A)) = 1 = \mu_{\alpha}(F(A))$, ce qui donne $\mu_B(\Omega) = 1$.
On a donc $\mu_B(t\Omega t^{-1}) = \Delta(t^{-1})\mu_B(\Omega) = \Delta(t^{-1})$. Mais c'est aussi $\mu_B(\Omega t^{-1})$ et on peut essayer de calculer explicitement $\Omega t^{-1}$. Pour ça on remarque que si $n\in N$ alors $nt^{-1} = a(t,n)t^{-1}n$ où $a(t,n)$ est un certain coefficient que je vais écrire plus loin. Ensuite comme $\mu_T(T(A)t^{-1}) = \mu_T(t^{-1}(T(A))) = 1$ on voit que $\Delta(t^{-1}) = a(t,n)$.
Maintenant on écrit $t = \prod t_{\alpha}$ où $t_{\alpha}$ est dans $T_{\alpha}$ et $n = \prod_{\beta} n_{\beta}$ dans l'ordre fixé au début. Il suffit de voir ce qu'il se passe quand on commute un $t_{\alpha}$ et un $n_{\beta}$. Bon je suis plutôt familier avec les algèbres de Lie sur les nombres complexes, mais par analogie j'imagine qu'on obtient un truc comme $\pi^{\langle \alpha, \beta^{\vee} \rangle}$. Si c'est le cas, en multipliant chaque coefficient et en sortant ce coefficient de la norme on obtient presque la formule que j'avais écrite par la propriété que $|\pi| = q^{-1}$.
Je dis presque car dans la formule que j'ai recopié au début on prends $det(ad(t)|Lie(N))$ et pas juste le produit de tout les $\pi^{\langle \alpha, \beta^{\vee} \rangle}$ comme j'en ai l'impression. Avant de continuer, je vais sans doute prendre encore un peu de temps pour lire le chapitre 2 du livre de David Renard pour éviter de dire plus d'âneries
-
Deux choses :
$\bullet$ Ce que tu écris n'a pas de sens pour deux raisons au moins. Qu'entends-tu par coefficient ? Si on est dans ${\rm GL}(n)$ par exemple, on peut supposer que c'est un élément du centre identifié au groupe multiplicatif $F^\times$. Mais en général ? A supposer que ça ait un sens, ce coefficient serait un élément de $F$, disons, alors qu'une valeur de $\Delta$ est un élément de ${\mathbb R}_+^\times$ ...
$\bullet$ Il est beaucoup plus facile de calculer $t\Omega t^{-1}$ pour deux raisons :
-- une conjugaison passe à travers un produit, pas une translation à droite,
-- on connaît l'action par conjugaison de $T$ sur un sous-groupe radiciel (à travers un isomorphisme avec $(F,+)$, ça fait apparaître des valeurs de la racine correspondante).
Un bon conseil est de commencer par avoir les idées très claires avec ${\rm GL}(2)$, puis ${\rm GL}(n)$. -
Merci beaucoup du retour, je vais faire une petite pause et lire calmement les références que tu as donné.
-
P.S. C'est quoi $T_\alpha$ ? Le groupe $T$ ne se décompose pas à l'aide des racines ! S'il y avait une racine associée à $T$, ce serait la racine nulle (qu'on ne prend jamais en compte) : l'action par conjugaison de $T$ sur lui-même est triviale car $T$ est commutatif ...
P.S.2 Quelle est ta motivation pour regarder l'isomorphisme de Sataké ? (Il n'y a aucun piège dans cette question :-) ) -
P.S 1 : En fait je pense en terme d'algèbre de Lie, où sauf erreur grâce à une base de Chevalley on peut décomposer $\mathfrak h$ en terme de racines simples, qui vérifient $[h_{\alpha}, x_{\beta}] = \langle \alpha^{\vee}, \beta \rangle x_{\beta}$ où $x_{\beta}$ est une base de $[\mathfrak b, \mathfrak b]$ indexé par les racines positives.
P.S 2 : En fait je suis surtout intéressé par l'isomorphisme géométrique de Satake et je pensais que c'est une bonne idée de comprendre l'isomorphisme classique d'abord, mais comme tu l'as deviné ce n'est pas vraiment mon domaine ... -
Pour moi la motivation pour essayer de comprendre c'est que si $L(s,\rho),L(s,\rho_2)$ sont des fonctions L d'Artin qui sont aussi des fonctions L de formes automorphes alors la fonction L d'Artin $L(s,\rho \otimes \rho_2)$ est automorphe. Autrement dit, comprendre le produit tensoriel de deux formes automorphes.
Donc j'ai une représentation admissible $\pi : G(\mathbb{A_k}) \to V \subset L^2(G(\mathbb{k})\setminus G(\mathbb{A_k})), \pi(g)f(x) = f(xg)$ et je dois en déduire des vecteurs $G(\mathcal{O}_v)$-fixés pour presque tous les $v$ et regarder l'action de l'algèbre de Hecke dessus et en déduire la factorisation de $\pi = \otimes_v \pi_v$ et leurs paramètres de Satake. Au moins pour le cas $G = GL_n$.
Il y a aussi l'idée que si une représentation de $\bigotimes_v C^0_c(G(\mathcal{O}_v)\setminus G(k_v) / G(\mathcal{O}_v))$ satisfait certaines propriétés (une forme de continuité héritée de $G(k)$ ?) alors c'est une forme automorphe (le truc qui devrait permettre d'appliquer $\sigma \in Gal(\overline{k}/k)$ aux paramètres de Satake donc aux coefficients d'une fonction L) -
Je ne suis pas un spécialiste de la théorie globale, mais es-tu sûr de ta première affirmation, c'est à dire de l'automorphie de la fonction L du produit tensoriel de deux représentations galoisiennes automorphes ? Pour un corps de nombres, il ne me semble pas que ce soit connu dans cette généralité (peut-être pour des petites dimensions).
Historiquement : pour ${\rm GL}(2)\times {\rm GL}(1)$ le résultat est vrai et est du à Jacquet et Langlands (années 70). Ils généralisaient ainsi le résultat de Weil d'avant guerre (la seconde ...) qui traitait des représentations automorphes attachés à des formes modulaires (enfin, c'est une façon de parler car Weil n'utilisait pas ce langage).
L'idée de la transformée de Satake est de coder la composante locale d'une représentation automorphe en une place non ramifiée par une donnée très simple. Pour ${\rm GL}(n)$, cette donnée est une classe de conjugaison semisimple dans ${\rm GL}(n, {\mathbb C})$ (qui est ici le fameux $L$-groupe). Concrètement, c'est un $n$-uplet de nombres complexes à conjugaison des composantes près. La transformée de Satake est la façon la plus rapide de le faire, mais ça n'est pas la seule. Via la correspondance locale de Langlands, ce $n$-uplet doit correspondre à l'image d'un Frobenius dans la représentation galoisienne locale (qui est triviale sur le groupe d'inertie). Le produit tensoriel au niveau de ces données se voit de façon assez simple : il revient à faire le produit tensoriel des matrices des éléments semisimples.
La continuité que tu évoques est l'objet des fameux théorèmes réciproques. Ils consistent à donner des conditions de nature analytique à certaines fonctions $L$ associées à une représentation du groupe des adèles (donnée comme un produit tensoriel de représentations locales) pour assurer qu'elle est automorphe. Historiquement, c'est Weil qui a fait ça en premier pour les formes modulaires, puis Jacquet et Langlands pour ${\rm GL}(2)$. Plus récemment Cogdell en a donné des formes beaucoup plus générales, avec application spéctaculaires aux fonctorialités de Langlands.
Je ne sais pas ce que tu entends par "comprendre le produit tensoriel". Comme je l'ai dit plus haut, aux places non ramifiées, une fois la fonctorialité du produit tensoriel acquis (ce qui est très loin d'être une mince affaire !!), il ne se passe rien de mystérieux. Par contre aux places ramifiées, même dans les cas simples où on sait faire, ce qu'il se passe reste assez mystérieux. -
Hello
Un petit lien à propos du message de Reuns. C'est du brouillon mais dans le message ici, il y a un produit tensoriel (noté $\odot$) de deux fonctions $\mathcal{L}$, elles sont issues de la théorie concernant les extensions abéliennes de corps quadratiques imaginaires, notée : $$
\eta(z) \eta(23z) \quad \odot \quad q \prod_{n \ge 1} (1-q^{12n})^2
$$ La question c'est est-ce que l'on peut dire que le produit tensoriel est modulaire ? En quel sens ? Est-ce qu'on peut la retrouver dans un espace de formes modulaires ? Si oui comment, en pratique ? Sorry le message que je pointe est brouillon :-D -
@moduloP
Coucou. Tu es en mode plaine ? Lupulus, Paul : sorry pour cette intrusion. -
Coucou Claude,
Non, non, je commence juste a être en forme, je m'entraîne avec un ancien sportif et c'est rigolo aujourd'hui, on a discuté de maths et il me disait que c'était abstrait et j'ai parlé un peu de toi et de ta manière de rendre ultra concrète les choses, enfin bref …. Faudrait que je trouve un peu le temps et la motivation pour me remettre un peu dans nos histoires, car on oublie vite. J'ai vu que vous vous amusez bien avec Gai requin :-)
Sorry Lupulus pour le hors sujet -
Il me semble que ton produit tensoriel est celui de Rankin-Selberg. Pour une explication analytique du phénomène, il y a l'excellente "vignette" de Paul Garrett :
http://www-users.math.umn.edu/~garrett/m/v/basic_rankin_selberg.pdf
C'est le même produit tensoriel dont parle Reuns. Il est "modulaire" au sens où il est "automorphe" ... Concrètement ça signifie que si tu prends deux formes modulaires, alors la fonction $L$ de leur produit tensoriel est la fonction $L$ d'une représentation automorphe de ${\rm GL}_4$. Pourquoi $4$ ? Parce qu'une forme modulaire donne lieu à une représentation automorphe de ${\rm GL}_2$ et que $2\times 2 =4$ ... Donc le produit tensoriel n'est pas en général modulaire au sens où on n'obtient pas toujours une fonction $L$ de forme modulaire. Cependant il y a des fonctorialités entre ${\rm GL}_2$ et ${\rm GL}_4$, donc si on a de chance ...
Bon, je fais le malin, mais si tu me donnes deux formes modulaires concrètes, je n'ai aucune idée d'où va leur produit tensoriel. Je ne connais pas ces objets de près, contrairement à Claude par exemple qui a vraiment fait des calculs avec.
P.S. Salut Claude. J'espère que tu vas bien et que tu profites bien de ta retraite pour ne faire que des choses qui te plaisent ! -
Salut Paul,
Le positif c'est que je suis d'accord avec $2 \times 2 = 4$, enfin avec $\text{GL}_4$. Ensuite, oui le truc est de spécifier au maximum où tombe le produit tensoriel ? Peut être un jour on comprendra bien :-D
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