Fonction avec exponentielle

Pour quelles valeurs de $x$ est-ce que tu sais calculer $\mathrm{e}^x$ ?
Pour quelles valeurs de $x$ est-ce que tu sais calculer $x^\mathrm{e}$ ? C'est quoi, au fait, $x^\mathrm{e}$ ?
Pour quelles valeurs de $x$ est-ce que tu sais faire la division ? Autrement dit, pour quelles valeurs de $x$ est-ce que $x^\mathrm{e}$ s'annule ?

Il faut vraiment que tu retrouves ou trouves la définition des puissances $x^a$ lorsque $a$ est un réel quelconque.

Dans le cas où $a=\mathrm{e}$, on n'a pas le choix, la seule définition raisonnable passe par $x^\mathrm{e}=\mathrm{e}^{\mathrm{e}\ln x}$. Elle demande que $x$ soit strictement positif. Cependant, quand $x$ tend vers $0^+$, $x^\mathrm{e}$ tend vers $0$ : on peut donc prolonger la fonction par continuité en posant $0^\mathrm{e}=0$. Cela fonctionne pour $x^a$ dès que $a>0$.

Pour certaines valeurs de $a$, on peut faire mieux.

• Si $a$ est un entier naturel, on peut définir $x^a$ en faisant le produit de $a$ facteurs égaux à $x$, et ce pour tout réel $x$. Dans cette définition, $x^0=1$ pour tout réel $x$ et en particulier, $0^0=1$. On vérifie sans peine (comment ?) que $x^a=\mathrm{e}^{a\ln x}$ lorsque $a$ est un entier naturel et $x$ un réel strictement positif.
• Si $a$ est un entier négatif, on peut définir $x^a$ comme l'inverse de $x^{|a|}$, où $x^{|a|}$ a été défini juste avant. Enfin, on peut si $x^a$ n'est pas nul, c'est-à-dire si $x\ne0$ ou si [$x=0$ et $a=0$]. On vérifie sans peine (comment ?) que $x^a=\mathrm{e}^{a\ln x}$ lorsque $a$ est un entier négatif et $x$ un réel strictement positif.
• Si $a$ est de la forme $1/b$ où $b$ est un entier non nul, on peut constater que la fonction $\psi_b:y\mapsto y^b$ est une bijection de $\R^+$ dans $\R^+$ et définir $x\mapsto x^{a}$ comme la réciproque de cette application.
  
  On vérifie sans peine (comment ?) que $x^a=\mathrm{e}^{a\ln x}$ lorsque $a$ est l'inverse d'un entier et $x$ un réel strictement positif.
  
  Si, de plus, $b$ est impair, alors $y\mapsto y^b$ est en fait une bijection de $\R$ sur $\R$ – pense par exemple à l'élévation au cube. On peut alors définir $x\mapsto x^a$ comme la fonction réciproque de celle-ci sur $\R$ tout entier. Cela a un sens d'écrire $(-8)^{1/3}=-2$ car $(-2)^3=-8$. En revanche, $(-8)^{1/2}$ n'a pas de sens dans $\R$. Pour éviter une telle dissymétrie, on peut aussi décider de ne pas définir une puissance $x^{1/(2k+1)}$ sur $\R^-$.
• Si $a$ est un rationnel de la forme $c/b$ avec $c\in\Z$ et $b\in\N^*$ et $x$ un réel strictement positif, on peut essayer de définir $x^a=(x^c)^{1/b}$. J'écris « essayer » parce qu'il faut vérifier que si $c/b=c'/b'$, on a bien $(x^c)^{1/b}=(x^{c'})^{1/b'}$ (sauras-tu le faire?).

Tout ça pour dire que les puissances ont des domaines de définition différents selon l'exposant. Cependant, pour un exposant irrationnel comme $\mathrm{e}$, il n'y a qu'un seul ensemble définition possible, c'est $\R^{+*}$. La définition la plus simple passe par l'exponentielle et le logarithme.

Pour en revenir à ta fonction, comme tu l'as essentiellement dit, elle est donc définie sur $\R^{+*}$.