Sous-espace propre

$X={}^t(x,y,z)$ est dans le sous-espace propre que tu cherches si et seulement si $x+y+z=0$.
Donc quelle est la dimension du sous-espace propre en question ?
Une fois cette dimension $\alpha$ déterminée, il te reste à trouver $\alpha$ vecteurs formant une famille libre dont les coordonnées vérifient $x+y+z=0$.

Oui, la dimension du sous-espace propre est bien $2$ mais quels sont les deux vecteurs dont tu parles ?
Si tu donnes à $x$ la valeur $1$, tu obtiens un vecteur du type $(1,-1-z, z)$, certes. Mais il va maintenant falloir donner une valeur à $z$ pour obtenir un "vrai" vecteur propre.

Oui, par exemple.

Une remarque comme ça en passant : ta matrice constituée de $1$ partout est clairement de rang $1$ donc son noyau de dimension $2$ (théorème du rang). Et vu la tronche de la matrice, tu peux trouver les vecteurs propres de tête sans même passer par l'écriture du système constitué des trois équations $x+y+z=0$ (même si là, ça ne coûte pas très cher).
C'est, je pense, un bon réflexe à avoir que de regarder si la matrice qu'on a n'a pas un rang évident : si oui, on a alors immédiatement la dimension du noyau et on peut parfois (souvent ?) trouver "à l'oeil" le ou les vecteurs cherchés.

Ce que je voulais dire :
ta matrice est constituée uniquement de $1$, il est donc évident que les vecteurs ${}^t (-1,1,0),{}^t (1,-1,0),{}^t (-1,0,1),{}^t (1,0,-1),{}^t (0,-1,1),{}^t (0,1,-1)$, etc. sont dans son noyau.

Plus généralement, regarder le rang de la matrice (s'il n'est pas trop difficile à calculer) ou le rang d'une matrice bien choisie (voir troisième point ci-dessous), ou regarder la "tête" de la matrice est souvent intéressant quand on cherche à déterminer les valeurs/vecteurs propres.
Deux-trois exemples où un travail sur le rang permet de dire des choses sur la matrice sans demander trop d'efforts :

* si la matrice n'est pas de rang maximal alors $0$ est valeur propre. Pour une matrice $3 \times 3$, savoir que $0$ est valeur propre te permet de facilement trouver les autres (s'il y en a) à l'aide de la trace de la matrice (qui est égale à la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité) et du déterminant de la matrice (qui est égal au produit des valeurs propres comptés avec leur multiplicité), sans avoir à calculer le polynôme caractéristique.

* Soit $A$ une matrice carrée de taille $n \times n$ ($n$ entier naturel supérieur à $1$) dont la somme des termes de chaque ligne est égal à un même nombre $\lambda$. Alors je te laisse te convaincre que $\lambda$ est valeur propre de la matrice et qu'un vecteur propre associé est ${}^t (1, 1, 1, ..., 1)$ (le vecteur dont toutes les coordonnées sont égales à $1$).

* Prenons une matrice $B$ de taille $n \times n$ ($n \in \mathbb{N}$, $n \geq 2$) dont tous les coefficients sont égaux à un nombre complexe $a$ sauf les éléments de la diagonale qui sont égaux à un nombre complexe $b$. Alors la matrice $B - (b-a) I_n$ est constituée uniquement de $a$. Elle est donc de rang $1$ si $a$ est non nul, donc non inversible et par conséquent, $b-a$ est valeur propre de la matrice $B$.
Par ailleurs, comme la somme de chaque ligne de $B$ est égale à $(n-1)a+b$, d'après le point précédent, $(n-1)a+b$ est valeur propre et un vecteur propre associé est ${}^t(1, 1, 1, ..., 1)$.
C'est probablement une matrice de ce type que tu avais au départ à diagonaliser, j'imagine.

Avec plaisir, Ahlamsmap. Ravi d'avoir pu t'aider.

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
D'une part, tu as bien trouvé deux vecteurs et non trois (voir ce message).
D'autre part, tu peux toujours trouver trois (ou plus) vecteurs qui engendrent un ev de dimension $2$. Dans ce cas, ces trois vecteurs forment une famille génératrice de ton ev, mais cette famille n'est pas libre.

On a bien un théorème pour assurer que des vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes forment une famille libre mais il est bien évident que ça ne permet pas de dire que toute famille est libre (alors que toute famille est formée de vecteurs propres de l'identité...).