Théorème de réduction d'endormorphisme

samiraxxx
samiraxxx
dans Algèbre
Bonjour
En tentant de démontrer ce théorème (j'ai ensuite trouvé la démonstration en pièce jointe dans un cours), je me suis demandé pourquoi il ne suffisait pas de dire que par le théorème de la base extraite, le sous-espace vectoriel E admet donc une base de vecteurs propres puisque V (E inclus dans V) a une base de vecteurs propres et de ce fait la restriction de u à E serait diagonalisable...
Puisque u est stable par E c'est un endomorphisme de E donc cette base extraite serait bien une base de vecteurs propres de u restreinte à E non ?

Également, dans cette démonstration puisque V admet une base de vecteurs propres de u je ne vois pas pourquoi chaque vecteur de E s'écrirait comme somme de vecteurs propres...
Pourquoi pas comme combinaison linéaire de vecteurs propres ? Pourquoi n'y aurait-il pas de scalaire devant chaque vecteur propre quand on écrit x = x1 + ... + xr (avec x1, ..., xr des vecteurs propres de u) ? Un vecteur s'écrit normalement comme combinaison linéaire des vecteurs d'une base non ?
En fait ce n'est pas le corps de la démonstration qui me dérange mais vraiment le tout début.

Si quelqu'un pouvait m'éclairer et me dire en quoi je me trompe j'en serais ravie merci d'avance !82262

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel strict. Si B est une base de E, il n'y a aucune raison que les vecteurs de B soient dans F, donc qu'on puisse construire une base de F avec une partie de B.

    Exemple : $(\mathbb R^2,+,.)$ et $F =\{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x+y=0\}$ et $B$ est la base canonique.

    Cordialement.
  • samiraxxx
    samiraxxx
    gerard0 a écrit:
    Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel strict. Si B est une base de E, il n'y a aucune raison que les vecteurs de B soient dans F, donc qu'on puisse construire une base de F avec une partie de B.

    En effet oui merci beaucoup !

    Par contre pour l'histoire du vecteur quelconque s'écrivant simplement comme une somme de vecteurs propres je ne comprends toujours pas pourquoi c'est simplement une somme et pas une somme "pondérée"...
  • michael
    michael
    Salut,

    si $w$ est un vecteur propre d'un endomorphisme $u$ d'un espace vectoriel $E$ alors pour tout $\lambda$ non nul de $\mathbb{K}$ (où $\mathbb{K}$ est le corps des scalaire de $E$), $\lambda w$ est aussi un vecteur propre de $u$.

    Ainsi, si $x$ s'écrit comme somme de vecteurs propres de $E$ sous la forme $x = \lambda_1 y_1 + \cdots + \lambda_r y_r$, en posant $x_i = \lambda_i y_i$ pour tout $i$, $x$ s'écrit bien $x = x_1 + \cdots + x_r$ où les $x_i$ sont des vecteurs propres de $u$.
  • samiraxxx
    samiraxxx
    michael
    Oh oui je n'avais pas pensé à cela ! Tout est clair, je vous remercie
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3

3 Invités