Discriminant
Bonjour,
Je viens de tomber sur une phrase.
On appelle discriminant de $q$ (forme quadratique) le déterminant de $Mat(q)$ dans une base quelconque vu comme un élément de de $\{0\} \bigcup k^*/k^{*2}$ ($k$ un corps).
C'est quoi la relation d’équivalence [qui] définit $(k^*/k^{*2})$ ?
Merci d'avance !
Je viens de tomber sur une phrase.
On appelle discriminant de $q$ (forme quadratique) le déterminant de $Mat(q)$ dans une base quelconque vu comme un élément de de $\{0\} \bigcup k^*/k^{*2}$ ($k$ un corps).
C'est quoi la relation d’équivalence [qui] définit $(k^*/k^{*2})$ ?
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Réponses
Parce que la matrice $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ de la forme quadratique $q(x,y) = ax^2+ (b+c)xy+dy^2$ se diagonalise dans le corps de décomposition de $\det(M-tI) = (a-t)(d-t)-bc = t^2- (a+d)t+\det(M)$ donc dans $k(\sqrt{\Delta}), \Delta = (a+d)^2-4\det(M)$
Mais je ne comprends pas alors pourquoi on ne regarde pas l'invariant que j'ai mentionné. C'est bien lui qui dit le corps quadratique (donc aussi un élément de $k^*/(k^*)^2$) où on aura un réseau dont la forme quadratique binaire est la norme.