Discriminant

paulinho · November 2018

Bonjour,
Je viens de tomber sur une phrase.

On appelle discriminant de $q$ (forme quadratique) le déterminant de $Mat(q)$ dans une base quelconque vu comme un élément de de $\{0\} \bigcup k^*/k^{*2}$ ($k$ un corps).
C'est quoi la relation d’équivalence [qui] définit $(k^*/k^{*2})$ ?
Merci d'avance !

Lupulus · November 2018

Je pense que c'est juste $a \sim b$ si il existe $c \in k$ avec $a = bc^2$.

paulinho · November 2018

Merci je teste sur quelques corps.....

reuns · November 2018

C'est pour les formes quadratiques binaires (à deux variables) non ?

Parce que la matrice $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ de la forme quadratique $q(x,y) = ax^2+ (b+c)xy+dy^2$ se diagonalise dans le corps de décomposition de $\det(M-tI) = (a-t)(d-t)-bc = t^2- (a+d)t+\det(M)$ donc dans $k(\sqrt{\Delta}), \Delta = (a+d)^2-4\det(M)$

Poirot · November 2018

Je pense que la question porte plutôt pour les formes quadratiques à $n$ variables sur un corps quelconque.

paulinho · November 2018

c'est pour les formes quadratiques a plusieurs variables Reuns. c'est surtout la relation d’équivalence que je cherchais. Merci

GaBuZoMeu · November 2018

$k^{*2}$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $k^*$. Et donc $k^*/k^{*2}$ est le quotient du groupe commutatif $k^*$ par le sous-groupe $k^{*2}$.

reuns · November 2018

Ha non d'accord on regarde vraiment $\det(M)$ et $\det(P M P^\top) \in k^*/(k^*)^2$ (et ce pour des formes quadratiques en $n$ variables)

Mais je ne comprends pas alors pourquoi on ne regarde pas l'invariant que j'ai mentionné. C'est bien lui qui dit le corps quadratique (donc aussi un élément de $k^*/(k^*)^2$) où on aura un réseau dont la forme quadratique binaire est la norme.

GaBuZoMeu · November 2018

Le discriminant est un invariant classique des formes quadratiques, avec le rang et l'indice de Witt. C'est un invariant complet pour les formes quadratiques non dégénérées sur les corps finis de caractéristique $\neq 2$.

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