Catégories dérivées
dans Algèbre
Bonsoir,
Sur le pdf çi joint, page : 25, on retrouve le paragraphe suivant :
We would like to say that we have a functor :
$$ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $$
but, this doesn't make sense - there are sheaves which are quasi-isomorphic but not isomorphic. We can fix this by taking :
$$ Rf_* \ : \ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) \to D^* ( \mathrm{Sh} (Y) ) $$
where $ D^* ( \mathrm{Sh} (X) ) $ is the derived category :
$$ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) = \{ \ \text{bounded below complexes of sheaves on} \ X \ \} [ \ \text{quasi-isomorphisms}]^{-1} $$
a category whose objects are complexes, whose morphisms are morphisms of complexes, but where all quasi-isomorphisms are inverted.
Alors, ma question est :
$ 1) $ Je ne comprends pourquoi : $$ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $$ n'a aucun sens. S'il existe des faisceaux quasi-isomorphes qui ne sont pas isomorphes, pourquoi $ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $ n'a aucun sens ?
$ 2) $ Dans $ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) $, tous les faisceaux quasi isomorphes sont isomorphes ? Je ne saisis pas pourquoi le passage au quotient :
$$ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) = \{ \ \text{bounded below complexes of sheaves on} \ X \ \} [ \ \text{quasi-isomorphisms}]^{-1} $$
assure que les faisceaux quasi isomorphes sont isomorphes. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.
Sur le pdf çi joint, page : 25, on retrouve le paragraphe suivant :
We would like to say that we have a functor :
$$ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $$
but, this doesn't make sense - there are sheaves which are quasi-isomorphic but not isomorphic. We can fix this by taking :
$$ Rf_* \ : \ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) \to D^* ( \mathrm{Sh} (Y) ) $$
where $ D^* ( \mathrm{Sh} (X) ) $ is the derived category :
$$ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) = \{ \ \text{bounded below complexes of sheaves on} \ X \ \} [ \ \text{quasi-isomorphisms}]^{-1} $$
a category whose objects are complexes, whose morphisms are morphisms of complexes, but where all quasi-isomorphisms are inverted.
Alors, ma question est :
$ 1) $ Je ne comprends pourquoi : $$ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $$ n'a aucun sens. S'il existe des faisceaux quasi-isomorphes qui ne sont pas isomorphes, pourquoi $ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $ n'a aucun sens ?
$ 2) $ Dans $ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) $, tous les faisceaux quasi isomorphes sont isomorphes ? Je ne saisis pas pourquoi le passage au quotient :
$$ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) = \{ \ \text{bounded below complexes of sheaves on} \ X \ \} [ \ \text{quasi-isomorphisms}]^{-1} $$
assure que les faisceaux quasi isomorphes sont isomorphes. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.
Réponses
-
1) Le problème est qu'on veut $Rf_* (\mathscr{F}) = f_*(\mathscr{I})$; pour peu qu'on ait deux résolutions injectives non isomorphes, cela pose un problème de définition si dans la catégorie d'arrivée les deux résolutions ne sont pas isomorphes (mais uniquement quasi-isomorphes). Ainsi on inverse les quasi-isomorphismes pour que deux résolutions injectives soient les mêmes.
2) C'est la définition: tu as inversé les quasi-isomorphismes, c'est-à-dire que si $f: A\to B$ est un quasi-isomorphisme, tu as rajouté (formellement) une flèche $g: B\to A$ à la catégorie telle que $f\circ g =id_B, g\circ f =id_A$; donc si $A,B$ étaient quasi-isomorphes, ils deviennent isomorphes dans cette nouvelle catégorie. (ce ne sont pas les faisceaux qui sont quasi-isomorphes, mais bien les complexes de faisceaux !) -
Merci beaucoup Maxtimax. (tu) :-)
-
Bonjour à tous,
Toujours dans le meme pdf inséré au début du fil, mais page : $32$ cette fois çi, j'ai du mal à comprendre l'exemple : $ 44 $ :
Pourquoi : $ R \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q} , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet } ) ) = R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet } ) $ ?
Sur la meme page, pourquoi $ H^0 ( \mathrm{Hom}^{ \bullet } ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) ) = \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet }) $, et quelle est la différence entre : $ \mathrm{Hom}^{ \bullet } ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) $ et $ \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) $ ?
Merci d'avance. -
Il y a une définition explicite de $\hom^{\bullet}(A^\bullet, I^\bullet)$ dans le document en question; la différence avec $\hom(A^\bullet, I^\bullet)$ devrait être claire. Pour la première question, je n'ai pas lu le document donc ne saurais te répondre
-
Ah oui, merci, je comprends :
$ \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) = \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , - ) ( I^{ \bullet } ) = F ( I^{ \bullet } ) $ avec : $ F = \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , - ) $.
Puis :
$ R \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) = RF(I^{ \bullet } ) $
$ = \bigoplus_{ i \geq 0 } R^i F ( I^{ \bullet } ) $
$ = \bigoplus_{ i \geq 0 } \mathrm{Hom}^i ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) $
$ = \mathrm{Hom}^{ \bullet } ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) $
$ = \bigoplus_{ i \geq 0 } \mathrm{Hom}^i ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) $
$ = \bigoplus_{ i \geq 0 } \bigoplus_{ n } \mathrm{Hom}^i ( A^{ i } , I^{ i+n } ) $
Non ?
Il me faut vraiment comprendre la première question, sinon, je ne vais pas avancer. :-) -
Pablo a écrit:Pourquoi : $ R \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q} , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet } ) ) = R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet } ) $ ?
Parce que :
$ R \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q} , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet } ) ) $
$ = \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} }^{ \bullet } ( \mathbb{Q}^0 , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet + 0 } ) $
$ = \bigoplus_{i \geq 0 } \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} }^i ( \mathbb{Q}^0 , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $
$ = \bigoplus_{i \geq 0 } \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q}^0 , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $
$ = \bigoplus_{i \geq 0 } R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $
$ = R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet } ) $
Non ?
Le passage $ \bigoplus_{i \geq 0 } \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q}^0 , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) = \bigoplus_{i \geq 0 } R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $ est valide parce que : $ \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q}^0 , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) = R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $ qui signifie tout simplement que le complexe de faisceaux $ R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $ est un complexe de faisceaux de $ \mathbb{Q} $ - modules, non ?
Merci d'avance. -
S'il vous plaît, l'exemple 44 de la page 32 affirme que : $ R \mathrm{Hom}_X ( \mathbb{Q}_X , \omega_{X}^{\bullet} ) = R \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q} , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet } ) $. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance. -
Tu peux exprimer $\Gamma$ comme un Hom.
-
Bonsoir,
Je ne sais pas exprimer $ \Gamma $ comme un $ \mathrm{Hom} $. Peux tu me montrer comment tu fais ?. -
$\Gamma(X,F) = Hom(\Q_X, F).$
-
Merci, mais je ne sais pas non plus pourquoi : $ \Gamma (X , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} ) $. Où tu as vu ça dans ce pdf inséré plus haut ?
Merci. -
Quelle est la définition d'un morphisme de faisceau ? L'égalité (ou plutôt disons l'isomorphisme) est immédiat si tu te rappelles que tu as affaire à des applications $\Q$-linéaires.
Autre façon de faire qui correspond à ce que je lis dans ton pdf. Soit $\{pt\}$ l'espace topologique constitué d'un seul point et $f : X \to \{pt\}$ l'application qui envoie tout $x \in X$ sur le point. Alors, par définition de l'image directe de faisceaux, on a $f_*F = \Gamma(X,F)$. (C'est noté au début de ton pdf.)
Ainsi on a $$RHom(\Q, R\Gamma(X, \omega_X)) = RHom(\Q, Rf_*(\omega_X)) = RHom_{\Q_X}(f^{-1}(\Q), \omega_X) = RHom_{\Q_X}(\Q_X, \omega_X).$$ -
Un morphisme de faisceaux est une transformation naturelle ... etc.
Pour établir que : $ \Gamma (X , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} ) $, il faut montrer qu'on peut associer une section globale $ f $ de $ \mathcal{F} $ à un morphisme de faisceaux : $ \varphi (f) \ : \ \mathbb{Q}_X \to \mathcal{F} $ et inversement, mais je ne sais pas comment cette correspondance bijective fonctionne. Tu peux me l'expliquer ?.
edit :
Attend, tu as modifié ton message ( tu as ajouté beaucoup de choses ), je poursuis ma lecture et je te dis ce que je ne comprends pas.
edit :
Merci Cyrano. :-)
C'est claire maintenant ce que tu écris. -
Cela dit ça reste quand même important de comprendre pourquoi $\Gamma (X , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} )$. :-D
Avant de résoudre ce problème, prenons un cas plus simple. Soit $k$ un corps commutatif et $V$ un $k$-espace vectoriel. Peux-tu prouver que $\mathrm{Hom}_{k-vect}(k,V) \simeq V$ ? -
$ \mathrm{Hom}_{ k- \mathrm{ev} } ( k , V ) \simeq k^{ \vee } \otimes V \simeq k \otimes V \simeq V $, non ?
$ \mathrm{Hom}_{ k- \mathrm{ev} } ( k , V ) \simeq k^{ \vee } \otimes V $ est valide parce que : $ k $ est libre de type fini. -
Si tu veux mais c'est compliqué. Il ne faut pas juste retenir plein de formules magiques par coeur mais comprendre l'argument clé derrière. Si tu vois cet argument, tu le généraliseras aux faisceaux sans problèmes.
Par exemple, pourquoi a-t-on $k \otimes V \simeq V ?$ -
On considère l'application : $ f : k \times V \to V $ définie par : $ f(a,x) = ax $ qui est bien définie et est bilinéaire, il existe alors un homomorphisme $ \overline{f} ( a \otimes x ) = ax $.
On considère $ g : \ V \to k \otimes V $ définie par : $ g(x) = x \otimes 1 $.
Alors, on peut facilement vérifier que : $ \overline{f} \circ g = \mathrm{id} $ et $ g \circ \overline{f} = \mathrm{id} $. D'où : $ \overline{f} $ est bijective. Par conséquent : $ k \otimes V \simeq V $, non ? -
Bien, tu as donc compris que le $1$ jouait un rôle central.
Du coup pour prouver que $Hom(k, V) \simeq V$ on pourrait directement définir cet iso en associant $f(1) \in V$ à tout morphisme $f \in Hom(k,V)$. Comme $f$ est $k$-linéaire, son image est totalement déterminée par l'image de $1$.
Une fois, cela compris, tu peux repasser aux faisceaux. -
Pour les faisceaux, c'est un peu délicat pour moi :
Pour montrer que : $ \Gamma ( X , \mathcal{F} ) \simeq \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} ) $, j'ai du mal à construire un morphisme $ \varphi $ qui associe pour chaque section globale $ f $, un morphisme de faisceaux, $ \varphi (f) \ : \ \mathbb{Q}_X \to \mathcal{F} $, c'est comme s'il y'a une application du lemme de Yoneda quelques part dans cet isomorphisme, mais je ne suis pas sûr. Cet iso ressemble un peu au lemme de Yoneda.
Pour montrer que : $ \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} ) \simeq \Gamma ( X , \mathcal{F} ) $, on considère $ c $ une transformation naturelle $ c := c_{U} \ : \ \mathbb{Q}_X (U) \to \mathcal{F} (U) $, et on lui associe une section globale : $ c_X(1_X) : \ X \to \mathbb{R} $ ( par exemple ), mais, le $ 1_X $ dans $ c_X(1_X) $, c'est quoi ? Le $ 1_X $ d'après le lemme de Yoneda est simplement le morphisme identité : $ 1_X : X \to X $, non ? Mais je ne suis pas sûr. -
Tu pars de $f \in \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} )$. Comme c'est une transformation naturelle, cela te donne une application $$f_X = \Gamma(X, \mathbb{Q}_X) \to \Gamma(X, \mathcal{F}).$$ Sauf que $ \Gamma(X, \mathbb{Q}_X)$ est simplement constitué des fonctions localement constantes sur $X$ à valeur dans $\mathbb{Q}.$ En particulier il y a la fonction constante $1$. Donc je peux considérer $f_X(1) \in \Gamma(X, \mathcal{F}).$ A toi à présent de montrer que $$\mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} ) \ni f \mapsto f_X(1) \in \Gamma(X, \mathcal{F})$$ est un iso.
-
Pablo_de_retour écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1742190,1743362#msg-1743362
> $ \mathrm{Hom}_{ k- \mathrm{ev} } ( k , V ) \simeq k^{ \vee } \otimes V \simeq k \otimes V \simeq V $, non ?
> $ \mathrm{Hom}_{ k- \mathrm{ev} } ( k , V ) \simeq k^{ \vee } \otimes V $ est valide parce que : $ k $ est libre de type fini.
C'est un peu étrange de raisonner comme ça. Tu as directement un isomorphisme canonique $ \mathrm{Hom}_{ k- \mathrm{ev} } ( k , V ) \simeq V$ par $f\mapsto f(1)$. Son inverse est $v\mapsto [\ x\mapsto xv \ ]$. -
Oui, c'est vrai, tu as raison Cyrano, merci. :-)
Pour montrer que c'est un iso ( i.e : bijective ), on construit un inverse :
Soit $ \xi \in \Gamma ( X , \mathcal{F} ) $, et on construit une transformation naturelle : $ \varphi ( \xi ) = c \in \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} ) $.
Soit $ c := c_U \ : \ \mathbb{Q}_X (U) \to \mathcal{F} (U) $ définie par : $ c_U (f) ( \xi ) = \mathcal{F} (f) ( \xi ) $ pour $ f \in \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X (U) , \mathbb{Q}_X (U) ) $ de sorte que $ c_X ( 1_X) ( \xi ) = \mathcal{F} (1_X) (\xi) = \xi $.
Alors : $ \varphi ( \xi ) = c $ est l'inverse de ton morphisme Cyrano $ f \to f_X(1) $, non ?
NB : Merci à toi aussi Paul. -
Si on note : $ \phi : f \to f_X (1) $ le morphisme de Cyrano, alors :
$ \phi \circ \varphi ( \xi ) = \phi (c_{ \xi } ) (\xi ) = c_X(1_X) (\xi) = \xi $
D'où : $ \phi \circ \varphi = \mathrm{id} $, non ?
On a aussi : $ \varphi \circ \phi (c) (\xi) = \varphi ( c(1)) (\xi) = c ( \xi ) $
D'où : $ \varphi \circ \phi = \mathrm{id} $.
Non ? -
Bonsoir,
Maintenant, à la page $ 52 $ de ce meme pdf plus haut, l'auteur affirme que : $ \mathcal{M}_P = \mathcal{D}_X / \mathcal{D}_X . P $ représente le foncteur : $ \mathcal{F} \to \{ \ u \in \mathcal{F} \ | \ Pu = 0 \ \} $. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ? et que signifie l'objet : $ \mathcal{D}_X / \mathcal{D}_X . P $ ?
Merci d'avance.
edit :
D'accord, j'ai compris il me semble :
$ \mathcal{D}_X / \mathcal{D}_X . P = \mathcal{D}_X / (P) $,
et donc, comme pour le cas de la théorie des schémas :
$ \mathrm{Hom} ( \mathcal{D}_X / (P) , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom} ( \mathrm{Spec} ( \mathcal{F} ) , \mathrm{Spec} ( \mathcal{D}_X / (P) ) ) = \{ \ u \in \mathcal{F} \ | \ Pu=0 \ \} $
Non ?
Merci d'avance. -
Dans l'exemple 65 à la page 52 du pdf plus haut, on dit que pour : $ P = \partial_z $, on a : $ \mathcal{D}_X / \mathcal{D}_X . P = \mathcal{D}_X / ( \partial_z ) = \mathcal{O}_X $.
Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance. -
Pour montrer que $ \mathcal{D}_X / ( \partial_z ) = \mathcal{O}_X $ il suffit de montrer que $ \mathcal{D}_X = \mathcal{O}_X [ \partial_z ] $, non ? Comment montre-t-on alors que : $ \mathcal{D}_X = \mathcal{O}_X [ \partial_z ] $ ? Merci d'avance.
-
J'ai compris : :-)
$ \mathcal{D}_X = \mathcal{D}_{ \mathbb{C} } = \{ \ P = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} f_k(z) \partial_z^{k} \ | \ f_k \in \mathcal{O}_{ \mathbb{C} } \ \} $ par définition, et donc : $ \mathcal{D}_{ \mathbb{C} } / ( \partial_z ) = \mathcal{O}_{ \mathbb{C} } $
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 17
+11 Invités