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dans Algèbre
Bonsoir,
Sur le pdf çi joint, page : 25, on retrouve le paragraphe suivant :
We would like to say that we have a functor :
$$ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $$
but, this doesn't make sense - there are sheaves which are quasi-isomorphic but not isomorphic. We can fix this by taking :
$$ Rf_* \ : \ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) \to D^* ( \mathrm{Sh} (Y) ) $$
where $ D^* ( \mathrm{Sh} (X) ) $ is the derived category :
$$ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) = \{ \ \text{bounded below complexes of sheaves on} \ X \ \} [ \ \text{quasi-isomorphisms}]^{-1} $$
a category whose objects are complexes, whose morphisms are morphisms of complexes, but where all quasi-isomorphisms are inverted.
Alors, ma question est :
$ 1) $ Je ne comprends pourquoi : $$ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $$ n'a aucun sens. S'il existe des faisceaux quasi-isomorphes qui ne sont pas isomorphes, pourquoi $ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $ n'a aucun sens ?
$ 2) $ Dans $ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) $, tous les faisceaux quasi isomorphes sont isomorphes ? Je ne saisis pas pourquoi le passage au quotient :
$$ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) = \{ \ \text{bounded below complexes of sheaves on} \ X \ \} [ \ \text{quasi-isomorphisms}]^{-1} $$
assure que les faisceaux quasi isomorphes sont isomorphes. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.
Sur le pdf çi joint, page : 25, on retrouve le paragraphe suivant :
We would like to say that we have a functor :
$$ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $$
but, this doesn't make sense - there are sheaves which are quasi-isomorphic but not isomorphic. We can fix this by taking :
$$ Rf_* \ : \ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) \to D^* ( \mathrm{Sh} (Y) ) $$
where $ D^* ( \mathrm{Sh} (X) ) $ is the derived category :
$$ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) = \{ \ \text{bounded below complexes of sheaves on} \ X \ \} [ \ \text{quasi-isomorphisms}]^{-1} $$
a category whose objects are complexes, whose morphisms are morphisms of complexes, but where all quasi-isomorphisms are inverted.
Alors, ma question est :
$ 1) $ Je ne comprends pourquoi : $$ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $$ n'a aucun sens. S'il existe des faisceaux quasi-isomorphes qui ne sont pas isomorphes, pourquoi $ Rf_* \ : \ \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ X \ \} \to \{ \ \text{Complexes of sheaves on} \ Y \ \} $ n'a aucun sens ?
$ 2) $ Dans $ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) $, tous les faisceaux quasi isomorphes sont isomorphes ? Je ne saisis pas pourquoi le passage au quotient :
$$ D^+ ( \mathrm{Sh} (X) ) = \{ \ \text{bounded below complexes of sheaves on} \ X \ \} [ \ \text{quasi-isomorphisms}]^{-1} $$
assure que les faisceaux quasi isomorphes sont isomorphes. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.
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Réponses
2) C'est la définition: tu as inversé les quasi-isomorphismes, c'est-à-dire que si $f: A\to B$ est un quasi-isomorphisme, tu as rajouté (formellement) une flèche $g: B\to A$ à la catégorie telle que $f\circ g =id_B, g\circ f =id_A$; donc si $A,B$ étaient quasi-isomorphes, ils deviennent isomorphes dans cette nouvelle catégorie. (ce ne sont pas les faisceaux qui sont quasi-isomorphes, mais bien les complexes de faisceaux !)
Toujours dans le meme pdf inséré au début du fil, mais page : $32$ cette fois çi, j'ai du mal à comprendre l'exemple : $ 44 $ :
Pourquoi : $ R \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q} , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet } ) ) = R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet } ) $ ?
Sur la meme page, pourquoi $ H^0 ( \mathrm{Hom}^{ \bullet } ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) ) = \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet }) $, et quelle est la différence entre : $ \mathrm{Hom}^{ \bullet } ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) $ et $ \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) $ ?
Merci d'avance.
$ \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) = \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , - ) ( I^{ \bullet } ) = F ( I^{ \bullet } ) $ avec : $ F = \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , - ) $.
Puis :
$ R \mathrm{Hom} ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) = RF(I^{ \bullet } ) $
$ = \bigoplus_{ i \geq 0 } R^i F ( I^{ \bullet } ) $
$ = \bigoplus_{ i \geq 0 } \mathrm{Hom}^i ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) $
$ = \mathrm{Hom}^{ \bullet } ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) $
$ = \bigoplus_{ i \geq 0 } \mathrm{Hom}^i ( A^{ \bullet } , I^{ \bullet } ) $
$ = \bigoplus_{ i \geq 0 } \bigoplus_{ n } \mathrm{Hom}^i ( A^{ i } , I^{ i+n } ) $
Non ?
Il me faut vraiment comprendre la première question, sinon, je ne vais pas avancer. :-)
Parce que :
$ R \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q} , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet } ) ) $
$ = \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} }^{ \bullet } ( \mathbb{Q}^0 , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet + 0 } ) $
$ = \bigoplus_{i \geq 0 } \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} }^i ( \mathbb{Q}^0 , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $
$ = \bigoplus_{i \geq 0 } \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q}^0 , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $
$ = \bigoplus_{i \geq 0 } R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $
$ = R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ \bullet } ) $
Non ?
Le passage $ \bigoplus_{i \geq 0 } \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q}^0 , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) = \bigoplus_{i \geq 0 } R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $ est valide parce que : $ \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q}^0 , R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) = R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $ qui signifie tout simplement que le complexe de faisceaux $ R \Gamma ( X , \omega_{X}^{ i + 0 } ) $ est un complexe de faisceaux de $ \mathbb{Q} $ - modules, non ?
Merci d'avance.
Merci d'avance.
Je ne sais pas exprimer $ \Gamma $ comme un $ \mathrm{Hom} $. Peux tu me montrer comment tu fais ?.
Merci.
Autre façon de faire qui correspond à ce que je lis dans ton pdf. Soit $\{pt\}$ l'espace topologique constitué d'un seul point et $f : X \to \{pt\}$ l'application qui envoie tout $x \in X$ sur le point. Alors, par définition de l'image directe de faisceaux, on a $f_*F = \Gamma(X,F)$. (C'est noté au début de ton pdf.)
Ainsi on a $$RHom(\Q, R\Gamma(X, \omega_X)) = RHom(\Q, Rf_*(\omega_X)) = RHom_{\Q_X}(f^{-1}(\Q), \omega_X) = RHom_{\Q_X}(\Q_X, \omega_X).$$
Pour établir que : $ \Gamma (X , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} ) $, il faut montrer qu'on peut associer une section globale $ f $ de $ \mathcal{F} $ à un morphisme de faisceaux : $ \varphi (f) \ : \ \mathbb{Q}_X \to \mathcal{F} $ et inversement, mais je ne sais pas comment cette correspondance bijective fonctionne. Tu peux me l'expliquer ?.
edit :
Attend, tu as modifié ton message ( tu as ajouté beaucoup de choses ), je poursuis ma lecture et je te dis ce que je ne comprends pas.
edit :
Merci Cyrano. :-)
C'est claire maintenant ce que tu écris.
Avant de résoudre ce problème, prenons un cas plus simple. Soit $k$ un corps commutatif et $V$ un $k$-espace vectoriel. Peux-tu prouver que $\mathrm{Hom}_{k-vect}(k,V) \simeq V$ ?
$ \mathrm{Hom}_{ k- \mathrm{ev} } ( k , V ) \simeq k^{ \vee } \otimes V $ est valide parce que : $ k $ est libre de type fini.
Par exemple, pourquoi a-t-on $k \otimes V \simeq V ?$
On considère $ g : \ V \to k \otimes V $ définie par : $ g(x) = x \otimes 1 $.
Alors, on peut facilement vérifier que : $ \overline{f} \circ g = \mathrm{id} $ et $ g \circ \overline{f} = \mathrm{id} $. D'où : $ \overline{f} $ est bijective. Par conséquent : $ k \otimes V \simeq V $, non ?
Du coup pour prouver que $Hom(k, V) \simeq V$ on pourrait directement définir cet iso en associant $f(1) \in V$ à tout morphisme $f \in Hom(k,V)$. Comme $f$ est $k$-linéaire, son image est totalement déterminée par l'image de $1$.
Une fois, cela compris, tu peux repasser aux faisceaux.
Pour montrer que : $ \Gamma ( X , \mathcal{F} ) \simeq \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} ) $, j'ai du mal à construire un morphisme $ \varphi $ qui associe pour chaque section globale $ f $, un morphisme de faisceaux, $ \varphi (f) \ : \ \mathbb{Q}_X \to \mathcal{F} $, c'est comme s'il y'a une application du lemme de Yoneda quelques part dans cet isomorphisme, mais je ne suis pas sûr. Cet iso ressemble un peu au lemme de Yoneda.
Pour montrer que : $ \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} ) \simeq \Gamma ( X , \mathcal{F} ) $, on considère $ c $ une transformation naturelle $ c := c_{U} \ : \ \mathbb{Q}_X (U) \to \mathcal{F} (U) $, et on lui associe une section globale : $ c_X(1_X) : \ X \to \mathbb{R} $ ( par exemple ), mais, le $ 1_X $ dans $ c_X(1_X) $, c'est quoi ? Le $ 1_X $ d'après le lemme de Yoneda est simplement le morphisme identité : $ 1_X : X \to X $, non ? Mais je ne suis pas sûr.
> $ \mathrm{Hom}_{ k- \mathrm{ev} } ( k , V ) \simeq k^{ \vee } \otimes V \simeq k \otimes V \simeq V $, non ?
> $ \mathrm{Hom}_{ k- \mathrm{ev} } ( k , V ) \simeq k^{ \vee } \otimes V $ est valide parce que : $ k $ est libre de type fini.
C'est un peu étrange de raisonner comme ça. Tu as directement un isomorphisme canonique $ \mathrm{Hom}_{ k- \mathrm{ev} } ( k , V ) \simeq V$ par $f\mapsto f(1)$. Son inverse est $v\mapsto [\ x\mapsto xv \ ]$.
Pour montrer que c'est un iso ( i.e : bijective ), on construit un inverse :
Soit $ \xi \in \Gamma ( X , \mathcal{F} ) $, et on construit une transformation naturelle : $ \varphi ( \xi ) = c \in \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathcal{F} ) $.
Soit $ c := c_U \ : \ \mathbb{Q}_X (U) \to \mathcal{F} (U) $ définie par : $ c_U (f) ( \xi ) = \mathcal{F} (f) ( \xi ) $ pour $ f \in \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X (U) , \mathbb{Q}_X (U) ) $ de sorte que $ c_X ( 1_X) ( \xi ) = \mathcal{F} (1_X) (\xi) = \xi $.
Alors : $ \varphi ( \xi ) = c $ est l'inverse de ton morphisme Cyrano $ f \to f_X(1) $, non ?
NB : Merci à toi aussi Paul.
$ \phi \circ \varphi ( \xi ) = \phi (c_{ \xi } ) (\xi ) = c_X(1_X) (\xi) = \xi $
D'où : $ \phi \circ \varphi = \mathrm{id} $, non ?
On a aussi : $ \varphi \circ \phi (c) (\xi) = \varphi ( c(1)) (\xi) = c ( \xi ) $
D'où : $ \varphi \circ \phi = \mathrm{id} $.
Non ?
Maintenant, à la page $ 52 $ de ce meme pdf plus haut, l'auteur affirme que : $ \mathcal{M}_P = \mathcal{D}_X / \mathcal{D}_X . P $ représente le foncteur : $ \mathcal{F} \to \{ \ u \in \mathcal{F} \ | \ Pu = 0 \ \} $. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ? et que signifie l'objet : $ \mathcal{D}_X / \mathcal{D}_X . P $ ?
Merci d'avance.
edit :
D'accord, j'ai compris il me semble :
$ \mathcal{D}_X / \mathcal{D}_X . P = \mathcal{D}_X / (P) $,
et donc, comme pour le cas de la théorie des schémas :
$ \mathrm{Hom} ( \mathcal{D}_X / (P) , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom} ( \mathrm{Spec} ( \mathcal{F} ) , \mathrm{Spec} ( \mathcal{D}_X / (P) ) ) = \{ \ u \in \mathcal{F} \ | \ Pu=0 \ \} $
Non ?
Merci d'avance.
Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.
$ \mathcal{D}_X = \mathcal{D}_{ \mathbb{C} } = \{ \ P = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} f_k(z) \partial_z^{k} \ | \ f_k \in \mathcal{O}_{ \mathbb{C} } \ \} $ par définition, et donc : $ \mathcal{D}_{ \mathbb{C} } / ( \partial_z ) = \mathcal{O}_{ \mathbb{C} } $