Produit et quotient de groupes

Bonsoir
Ben non, prends $G= D_6$ le groupe diédral d'ordre 12 (le groupe de l'hexagone). Il se décompose en $D_6=D_3\times C_2$ où $C_2$ est le centre de $D_6$ (càd engendré par la rotation $\pi$=le demi-tour) et le $D_3$ est le sous-groupe laissant invariant l'un des deux triangles équilatéral de l'hexagone.
Mais dans $D_6$ il y a trois symétries par rapport aux diagonales et trois symétries par rapport aux apothèmes, toutes les six isomorphes à $C_2$, mais aucune n'engendre de sous-groupe distingué dans $D_6$.

Si tu prends $H_2$ l'un des sous-groupes isomorphe à $D_3$ et $H_1$ un sous-groupe engendré par l'une des six symétries. Tu as bien que $H_1\simeq C_2\simeq \langle \text{demi-tour}\rangle$ qui est distingué dans $G=D_6$,
et $G=D_6 =D_3\times C_2 \simeq H_2\times H_1$ (produit direct externe), mais $G=D_6\neq H_2\times H_1$ (produit direct interne) qui n'est pas un groupe (en réalité ici, tu as $D_6=H_2\rtimes H_1$ (produit semi-direct interne)).
Bref, $H_1$ n'est pas distingué dans $D_6$, donc $G/H_1$ n'est pas un groupe.
Alain

Bonsoir $\newcommand{\eng}[1]{\langle#1\rangle}$
Pour reprendre ta question http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1742260,1742290#msg-1742290
Que veux-tu dire par "produit cartésien de deux sous-groupes distingués $H_1,\, H_2$" ?
Quelle loi de groupe mets-tu sur ce produit cartésien ?
Si tu mets la loi induite par la loi du groupe $G$, alors tu obtiens le sous-ensemble produit $H_1H_2=\{h_1h_2\mid h_1\in H_1,\ h_2\in H_2\}$ qui, comme $H_1\lhd G$, est le plus petit sous-groupe engendré par $H_1$ et $H_2$.
Dans ce cas, une illustration de mon avertissement http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1742260,1742308#msg-1742308 est donnée par le groupe d'ordre 8 $G=\mathbb H_8$ des quaternions.
On a $\mathbb H_8=\{\pm1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ avec les relations $i^2=j^2=k^2=-1$, $ij=-k,\ jk=-i,\ ki=-j$. Tous ses sous-groupes sont distingués et forment le treillis $$
\xymatrix{ &\mathbb H_8 &\\
{\begin{array}{c}C_4\\ \eng i\end{array}} \ar@{-}[ru] & {\begin{array}{c}C_4\\ \eng j\end{array}} \ar@{-}[rlu] & {\begin{array}{c}C_4\\ \eng k\end{array}} \ar@{-}[lu] \\
&{\begin{array}{c}C_2\\ \eng {-1}\end{array}} \ar@{-}[lu] \ar@{-}[rlu] \ar@{-}[ru] \\
&\{1\}\ar@{-}[rlu]
}
$$ Si tu pends $H_1=\eng i\simeq C_4$ et $H_2=\eng k\simeq C_4$, tu as bien que $H_1H_2=\mathbb H_8=G$, mais $G/H_1\simeq C_2\not \simeq H_2\simeq C_4$. Ceci parce que $H_1\cap H_2=\eng{-1}\neq\{1\}$.

Remarque. Si tu prends $H_1=\eng{-1}$, alors $G/H_1\simeq C_2\times C_2$ qui n'est isomorphe à aucun sous-groupe de $G$ ($G$ n'a que des sous-groupes $C_4$ ou $C_2$).

Alain