Produit et quotient de groupes
dans Algèbre
Bonsoir
Si $G$ est un groupe isomorphe au produit cartésien $H_1\times H_2$ tel que $H_1$ et $H_2$ sont chacun des groupes isomorphes à un sous-groupe distingué de $G$, a-t-on que:
- $G/ H_1$ est un groupe?(sous prétexte que $H_1$ est isomorphe à un sous-groupe distingué de $G$)?
si oui, ce quotient est-il isomorphe à $H_2$?
- Peut-on affaiblir ces hypothèses pour passer « d’un produit au quotient? »
Merci beaucoup pour votre aide
Si $G$ est un groupe isomorphe au produit cartésien $H_1\times H_2$ tel que $H_1$ et $H_2$ sont chacun des groupes isomorphes à un sous-groupe distingué de $G$, a-t-on que:
- $G/ H_1$ est un groupe?(sous prétexte que $H_1$ est isomorphe à un sous-groupe distingué de $G$)?
si oui, ce quotient est-il isomorphe à $H_2$?
- Peut-on affaiblir ces hypothèses pour passer « d’un produit au quotient? »
Merci beaucoup pour votre aide
Réponses
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Tiens...quel sens ai-je donné à $G/H_1$? Eh bien cela amène une autre question en fait, j’imagine que si $H_1$ est isomorphe à un sous-groupe distingué de $G$, on doit bien pouvoir trouver un groupe $G’$ contenant $H_1$ isomorphe à $G$? C’est peut-être n’importe quoi...
Mais si un tel groupe existe, alors $G/H_1$ désigne en fait $G’/H_1$... -
Bonsoir
Ben non, prends $G= D_6$ le groupe diédral d'ordre 12 (le groupe de l'hexagone). Il se décompose en $D_6=D_3\times C_2$ où $C_2$ est le centre de $D_6$ (càd engendré par la rotation $\pi$=le demi-tour) et le $D_3$ est le sous-groupe laissant invariant l'un des deux triangles équilatéral de l'hexagone.
Mais dans $D_6$ il y a trois symétries par rapport aux diagonales et trois symétries par rapport aux apothèmes, toutes les six isomorphes à $C_2$, mais aucune n'engendre de sous-groupe distingué dans $D_6$.
Si tu prends $H_2$ l'un des sous-groupes isomorphe à $D_3$ et $H_1$ un sous-groupe engendré par l'une des six symétries. Tu as bien que $H_1\simeq C_2\simeq \langle \text{demi-tour}\rangle$ qui est distingué dans $G=D_6$,
et $G=D_6 =D_3\times C_2 \simeq H_2\times H_1$ (produit direct externe), mais $G=D_6\neq H_2\times H_1$ (produit direct interne) qui n'est pas un groupe (en réalité ici, tu as $D_6=H_2\rtimes H_1$ (produit semi-direct interne)).
Bref, $H_1$ n'est pas distingué dans $D_6$, donc $G/H_1$ n'est pas un groupe.
Alain -
Soit $H_1,H_2$ deux sous-groupes de $G$ tels que : $G = \bigcup_{a_2 \in H_2} a_2 H_1$ union disjointe et $(a_2a_1)(b_2b_1) = (a_2b_2)(a_1b_1)$.
Alors $a_2 H_1 = H_1 a_2$ donc on a naturellement une loi de groupe sur $G/H_1= \{ a_2 H_1,a_2 \in H_2\}$ qui donnée par $(a_2 H_1)(b_2 H_1) = a_2 (H_1 b_2) H_1= a_2 b_2 H_1 H_1 = a_2 b_2 H_1$ -
Merci je vais réfléchir à vos réponses. Mais si $G$ est isomorphe au produit cartésien de deux de ses sous-groupes distingués $H_1$ et $H_2$, alors cette fois on a bien $G/H_1$ isomorphe à $H_2$ il me semble?
-
Oui, c'est à dire que $a_1a_2 = a_2 a_1, a_i \in H_i$ commutent. Mais cette condition n'est pas nécessaire, il suffit que $a_1 a_2 \in a_2 H_1$ (c'est l'idée du produit semi-direct)
-
Merci beaucoup
-
Bonsoir
ATTENTION, il risque d'y avoir un problème si $H_1\cap H_2\neq \{1\}$, fussent-ils tous deux distingués !
Alain -
Tout ceci m’a l’air bien compliqué AD. Je crois que je vais acheter ton livre, on m’a dit que les treillis aident à mieux visualiser les groupes. J’aimerais bien pouvoir jongler avec..,est-ce seulement possible?
-
Bonsoir
Bien sûr le treillis des sous-groupes d'un groupe permet de visualiser celui-ci et d'en déduire par simple lecture les propriétés d'intersection et de sous-groupe engendré par deux sous-groupes. C'est typiquement ce qu'au travers de tes questions, je comprends que tu recherches.
Alain -
Bonsoir $\newcommand{\eng}[1]{\langle#1\rangle}$
Pour reprendre ta question http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1742260,1742290#msg-1742290
Que veux-tu dire par "produit cartésien de deux sous-groupes distingués $H_1,\, H_2$" ?
Quelle loi de groupe mets-tu sur ce produit cartésien ?
Si tu mets la loi induite par la loi du groupe $G$, alors tu obtiens le sous-ensemble produit $H_1H_2=\{h_1h_2\mid h_1\in H_1,\ h_2\in H_2\}$ qui, comme $H_1\lhd G$, est le plus petit sous-groupe engendré par $H_1$ et $H_2$.
Dans ce cas, une illustration de mon avertissement http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1742260,1742308#msg-1742308 est donnée par le groupe d'ordre 8 $G=\mathbb H_8$ des quaternions.
On a $\mathbb H_8=\{\pm1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ avec les relations $i^2=j^2=k^2=-1$, $ij=-k,\ jk=-i,\ ki=-j$. Tous ses sous-groupes sont distingués et forment le treillis $$
\xymatrix{ &\mathbb H_8 &\\
{\begin{array}{c}C_4\\ \eng i\end{array}} \ar@{-}[ru] & {\begin{array}{c}C_4\\ \eng j\end{array}} \ar@{-}[rlu] & {\begin{array}{c}C_4\\ \eng k\end{array}} \ar@{-}[lu] \\
&{\begin{array}{c}C_2\\ \eng {-1}\end{array}} \ar@{-}[lu] \ar@{-}[rlu] \ar@{-}[ru] \\
&\{1\}\ar@{-}[rlu]
}
$$ Si tu pends $H_1=\eng i\simeq C_4$ et $H_2=\eng k\simeq C_4$, tu as bien que $H_1H_2=\mathbb H_8=G$, mais $G/H_1\simeq C_2\not \simeq H_2\simeq C_4$. Ceci parce que $H_1\cap H_2=\eng{-1}\neq\{1\}$.
Remarque. Si tu prends $H_1=\eng{-1}$, alors $G/H_1\simeq C_2\times C_2$ qui n'est isomorphe à aucun sous-groupe de $G$ ($G$ n'a que des sous-groupes $C_4$ ou $C_2$).
Alain -
Merci beaucoup AD
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