Représentations linéaires des groupes finis

Ce n'est pas du tout celle là. Si $g\in G$, on a $\rho(g)\in GL(V)$.

Or tout $u\in GL(V)$ induit un élément $u^*$ de $GL(V^*)$ défini pour $u^*(\varphi)=\varphi\circ u^{-1} $pour tout $\varphi\in V^*$.

Bref, la représentation induite sur $V^*$ par $\rho$ est $\rho^*:g\in G\mapsto ((\rho(g))^*)\in GL(V^*)$.

Edit: grillée !

Edit 2: passage à l'inverse rajouté après la remarque de Maxtimax

Edit 3: raaaah !!!

@mel : le problème c'est que là ça donne une représentation à droite, en général on aime bien que ça reste du même côté ; donc il me semble qu'on a tendance à mettre $(\rho (g)^{-1})^*$ plutôt
(l'autre intérêt de cette convention est qu'elle met en exergue l'intérêt d'avoir une algèbre de Hopf : si $H$ est une telle algèbre, d'antipode $s$, alors $x\mapsto \rho(s(x))^*$ donne une représentation de $H$ dans $V^*$, partant d'une représentation de $H$ dans $V$)

@melpomène : Attends mais du coup tu as mis deux fois $^{-1}$, ce qui fait que ta définition de $\rho^*$ n'a pas changé :-D

Les représentations linéaires ne sont qu'un cas particulier des actions de groupes. Il faut bien avoir en tête la chose suivante. Si un groupe $G$ agit (à gauche, pour la convention habituelle) sur un ensemble $X$ et si $k$ est un corps, alors $G$ agit (à gauche) sur l'espace vectoriel des fonctions $f$ : $X\rightarrow k$ par
$$
(g.f)(x) = f(g^{-1}.x), \ \ g\in G , \ x\in X , \ f\in {\mathcal F}(X,k)\ .
$$
De plus l'action de $G$ sur ${\mathcal F}(X,k)$ est linéaire.

Si à présent $X$ est un $k$-espace vectoriel $V$, le dual $V^*$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal F}(V,k)$, et il est stable sous l'action de $G$. La restriction de l'action de $G$ à $V^*$ est la représentation que l'on cherche, comme le précisait Maxtimax.

Remarque. La représentation de $G$ donnée par ${\mathcal F}(X,k)$ s'appelle une représentation par permutation.