Théorème de structure des gr. abéliens finis

raboteux
raboteux
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Ci-après un corrigé d'exercice utilisant le fameux théorème.

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J'ai du mal au niveau de la conclusion.
- Pourquoi le sous-groupe de $p$-torsion de $G$ est-il isomorphe à $(Z/pZ)^r$ ?
- Pourquoi $(Z/pZ)^r$ contient-il forcément un sous-groupe isomorphe à ${Z/pZ} \times {Z/pZ}$ ?

Merci par avance pour le petit coup de pouce ...

Réponses

  • AD
    AD
    Bonjour Raboteux
    1- Chacun des $r$ facteurs directs composant $G$ contient $\Z/p\Z$ comme sous-groupe. Le groupe $G$ contient donc le produit direct $(\Z/p\Z)^r$.
    2- $(\Z/p\Z)^r$ est le groupe additif de l'espace vectoriel de dimension $r$ sur le corps $\Z/p\Z$. Comme la dimension $r\geq 2$, cet espace vectoriel contient (au moins) un plan qui est isomorphe à $(\Z/p\Z)^2$.
    Alain
  • Poirot
    Poirot
    Plus explicitement, le sous-groupe $$\mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/p \mathbb Z \times \{0\} \times \dots \times \{0\}$$ est bien évidemment isomorphe à $$\mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/p \mathbb Z.$$ Comme le dit Alain, il est toujours utile de voir un $p$-groupe abélien élémentaire (c'est-à-dire de la forme $\left(\mathbb Z/p\mathbb Z\right)^r$) comme un $\mathbb Z/p\mathbb Z$-espace vectoriel de dimension $r$ et utiliser des résultats d'algèbre linéaire pour en déduire des choses dessus.
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