Extension quadratique

mathematoc · December 2018

Bonsoir

Est-ce que je peux dire qu’une extension quadratique $K[\alpha]$ d’un corps $K$ est un corps de rupture du polynôme minimal de $\alpha$? J’ai l’impression que lorsqu’on parle de corps de rupture, on travaille sur des polynômes (on construit un surcorps tel que tel polynôme donné ait au moins une racine dans ce corps) tandis que parler d’extension finie suppose qu’on travaille sur des nombres algébriques(on cherche un polynôme annulateur de degré minimal puis on construit un espace vectoriel de dimension ce degré, qui est alors un surcorps). Mon problème est que j’ai du mal à raccorder les deux notions, et d’ailleurs le faut-il? Merci por votre aide.

Poirot · December 2018

Je ne comprends pas ta confusion. Soit $K$ un corps et $P$ un polynôme de degré $2$ à coefficients dans $K$. Si $P$ n'est pas irréductible dans $K[X]$ alors ses racines sont dans $K$ et son corps de rupture n'est rien d'autre que $K$ (ainsi que son corps de décomposition). Si $P$ est irréductible dans $K[X]$, alors $K[X]/(P)$ est un corps, de degré $2$ sur $K$. Dans ce corps, la classe de $X$ est une racine de $P$. Ce corps est isomorphe à $K[\alpha]$, où $\alpha \in \overline{K}$ est une racine de $K$. Ici il n'y a pas ambiguïté sur la racine, puisque toute racine d'un polynôme de degré $2$ engendre le même corps de rupture.

mathematoc · December 2018

Merci beaucoup Poirot. C’est clair. Soit $K$ un corps et $P$ un polynôme de degré 2 unitaire irréductible sur $K[X]$. Alors $K[X]/(P)$ est une extension quadratique de $K$(sa dimension est 2 en tant que $K-$espace vectoriel). $\bar{X}$ est algébrique sur $K$, ce qui, par Bézout, fait du $K-$espace vectoriel $K[\bar{X}]$ un corps.
Considérons alors le morphisme d’anneaux $\varphi : K[X] \to K[\bar{X}], Q \mapsto Q(\bar{X})$. Par le théorème d’isomorphisme, on a que $K[X]/(P)$ est isomorphe à $K[\bar{X}]$. Par conséquent, l’extension quadratique $K[X]/(P)$ est le seul corps de rupture du polynôme irréductible $P$ de degré 2, à isomorphisme près.