Projection orthogonale, app. lin. injective

Bonjour à tous,

$X$ est une matrice à coefficients réels de taille $n\times p$, injective. On rappelle que $X$ est injective si et seulement si ${}^t\!XX$ est inversible (cela se démontre assez aisément avec les valeurs propres). Dans l'ouvrage Statistique mathématique en action (Rivoirard et Stoltz), on lit :

"$A=X.({}^t\!XX)^{-1}.\,{}^t\!X$ est la projection orthogonale sur $Im \space X$. En effet, $A=A^2={}^t\!A$, de sorte que $A$ est un projecteur orthogonal. Comme en outre, $Im \space A=Im \space X$, $A$ est bien la projection orthogonale sur $Im \space X$."

Ma question est la suivante : à votre avis, quel est l'argument le plus simple pour démontrer que $Im \space A=Im \space X$ ? Cela semble être évident pour les auteurs, mais pas pour moi. Voici mon raisonnement :

i) D'une part, $Im \space A \subset Im \space X$, car $A=XQ$ où $Q=({}^t\!XX)^{-1}.\,{}^t\!X$.
ii) D'autre part, on remarque que $AX=X$, donc si $v \in Im \space X$, alors il existe $u$ tel que $v=Xu=(AX)u=A(Xu)=Av$. Ainsi, $v$ admet au moins un antécédent par $A$ (lui-même par ex), donc $v \in Im \space A$ : $Im \space X \subset Im \space A$

Avez-vous plus simple ? Merci d'avance pour vos réponses.