Définition de la norme vectorielle

Adaq · December 2018

Bonjour à tous
Je dois répondre à une question simple.

Si $U$ est une matrice quadratique possédant un inverse appartenant à $\mathbb{R}^{n \times n}$, alors on aimerait montrer que $\|Ux\|,\ x \in \mathbb{R}^n $ forme une norme vectorielle.

Mais en fait j'ai réalisé que je ne suis pas sûr de la définition de norme vectorielle, dans mon esprit, la norme d'un vecteur est la racine carré du produit scalaire de ce vecteur avec lui-même, mais on ne me l'a jamais dit, c'est juste mon intuition, j'en appelle donc à votre expertise puisque celle d'internet n'a pas su m'aider.
Je vous remercie.

gerard0 · December 2018

Pourtant on trouve facilement la définition d'une norme sur Internet.

Cordialement.

Adaq · December 2018

Je vais reformuler ma question,

Comment vérfiie-t-on qu'une fonction de $\mathbb{R}^n$ vers $\mathbb{R}$ est une norme vectorielle ?

gerard0 · December 2018

En appliquant la définition qui se trouve d'ailleurs sur la page Wikipédia que je t'ai signalée (2. Sur un espace vectoriel quelconque).
Et on voit tout de suite que ton énoncé est faux ! Tu trouveras tout de suite pourquoi en faisant ton travail.

NB : C'est un peu surprenant de se retrouver devant cet exercice sans connaître la définition de "norme".

Adaq · December 2018

C'est dommage de voir tout de suite qu'il est faux, étant donné qu'il est vrai.

Et évidemment que je connais les propriétés du type $||x + y|| \leq ||x|| + ||y||$ ou qu'elle est toujours positive, mais cela n'est pas calculable quand la norme utilisée n'est pas la norme euclidienne mais une norme quelconque de $\mathbb{E}^n$.

On parle du cas général :

Si $|| . ||$ est une norme appartenant à $\mathbb{E}^n$ et que $U \in \mathbb{R}^{n \times n}$ possède un inverse alors on doit montrer que la norme $|| . ||_{*} = ||Ux||$ en est bien une.

Mais c'est tout bon, je posterai la solution si ça intéresse des gens.

Phare · December 2018

Je suis d'accord que c'est bien une norme.

Peut être que gerard parlait de normes euclidiennes.

P. · December 2018

Je ne sais pas ce que c'est qu'une 'matrice quadratique.' C'est sans doute une matrice carree. Regarde paisiblement les trois axiomes d'une norme. $\|U(x+y)\}\leq \|Ux\|+\|Uy\|?$ pas de probleme. Idem pour $\|U(\lambda x)\|.$ Le seul point interessant est :est ce que $\|Ux\|=0$.entraine $x=0?$

gerard0 · December 2018

Phare,

relis ce que dit P.

Cordialement.

Rubgo · December 2018

Euh...
Si $||Ux||=0$,
alors $Ux=0$.
Et comme U est inversible (d'après le premier post), $x=0$.

gerard0 · December 2018

Heu ... quelle est l'espace sur lequel on travaille ? Le texte de Adaq est flou. Je commence à me demander si c'est U qui est la variable ou x. Comme la seule variable exposée était U (le x n'est jamais défini) c'était pour moi une norme sur U.

Comme quoi, écrire la moitié d'un énoncé est une très mauvaise idée :-)

Rubgo · December 2018

C'est vrai que j'ai interprété le $\R^{n×n}$ comme $\mathcal{M}_n(\R)$. Et $x \in \R^n$ est donné dans le post de départ. Si c'est $\R^{n×n}$ le problème, alors c'est sûr qu'il faut écrire l'énoncé correctement.