Emergence naturelle des sous-groupes normaux

Bonjour,

J'essaie de faire apparaître naturellement la notion de sous-groupe normal lors de la construction des groupes quotients mais je coince.

Soit $G$ un groupe et $\sim$ une relation d'équivalence sur $G$ compatible avec la loi de $G$. Soit $H$ la classe d'équivalence de l'élément neutre $e$ de $G$. On montre que $H$ est un sous-groupe de $G$. Ensuite, soit $(x,y) \in G^2$ tel que $x \sim y$. Puisque la relation est compatible à gauche on a $e \sim x^{-1}y$ ssi $x^{-1}y \in H$. Ainsi il existe donc $h \in H$ tel que $x = yh^{-1}$. De même et du fait de la compatibilité à droite il existe $h' \in H$ tel que $x = h'y$ et on déduit donc $ yh^{-1} = h'y$.

Voici mon problème. Avec cette discussion j'ai atteint (enfin je crois) : $\forall y \in G, \exists h \in H, yhy^{-1} \in H$ alors que je voulais évidemment atteindre : $\forall y \in G, \forall h \in H, yhy^{-1} \in H$ pour montrer que les relations d'équivalence sur $G$ compatibles avec la loi de $G$ sont de la forme $x^{-1}y \in H$ avec $H$ normal dans $G$ (la réciproque ne me pose pas de problème).

Où est mon erreur et comment j'atteins mon but ?

Merci.