Hyperplans distincts

raboteux · December 2018

Bonsoir à tous
Voilà un morceau d'une démo parmi d'autres du théorème "les transvections engendrent $SL(E)$".

Dans un $K$ espace vectoriel de dim $\geq{2}$ :
- soient 2 hyperplans distincts $H$ et $H'$ et $a$ n'appartenant pas à ces deux hyperplans. On considère l'hyperplan $(H\cap{H'})\bigoplus{Ka}$. Montrer que l'on peut trouver $\ell\in{E^*}$ de noyau $(H\cap{H'})\bigoplus{Ka}$ telle qu'une transvection $\tau$ associée à $\ell$ envoie $H$ sur $H'$.

Je me pose une question un peu bête.
- les hyperplans étant distincts, $H+H'=E$ il me semble, du coup un vecteur $a$ n'appartenant pas à $H$ et $H'$, cela existe ?
Merci par avance.

Amathoué · December 2018

Bonsoir,

$a\notin H\cup H’$ ne veut pas dire que $a \notin H+H’$...

raboteux · December 2018

Mince, cela me revient je crois : $H$+$H'$ est le sous espace engendré par la réunion des deux mais il ne contient pas que cette réunion, c'est cela que tu veux dire non?
Et si par contre on a 2 ev qui sont supplémentaires dans $E$ alors un vecteur qui n'appartient ni à l'un ni à l'autre n'existe pas c'est cela? Mais ce cas n'est pas possible pour 2 hyperplans bien sûr, au regard de leurs dimensions respectives...

gerard0 · December 2018

"Et si par contre on a 2 ev qui sont supplémentaires dans E alors un vecteur qui n'appartient ni à l'un ni à l'autre n'existe pas c'est cela? "
Non. Toujours la confusion entre somme de sev et réunions. Un vecteur qui s'écrit (de façon unique ou pas) x+y où x est dans H et y dans H' n'a aucune raison d'être un x ou un y.
La somme de deux hyperplans distincts dans un ev de dimension 2 est directe.

Cordialement.

raboteux · December 2018

Merci à tous les deux, je vais cogiter...

gerard0 · December 2018

Pour imager (mais ne pas s'en contenter) :
Dans le plan $\mathbb R^2$ vu comme espace vectoriel avec les opérations classiques, les sev sont $\{(0,0)\}$, les "droites passant par l'origine" et $\mathbb R^2$. Deux droites distinctes sont supplémentaires.
Dans l'espace $\mathbb R^3$ vu comme espace vectoriel avec les opérations classiques, les sev sont $\{(0,0,0)\}$, les "droites passant par l'origine", les "plans passant par l'origine" et $\mathbb R^3$. Une droite et un plan qui ne contient pas la droite sont supplémentaires

raboteux · December 2018

Merci encore.

michael · December 2018

Pour prolonger ce que dit gerard0 :
* dans $\mathbb{R}^2$, le sev engendré par $(1,0)$ et celui engendré par $(0,1)$ sont en somme directe et $(1,1)$ n'appartient à aucun de ces sev.
* Si $F$ et $G$ sont deux sev d'un ev $E$, en général $F \cup G$ n'est pas un sev de $E$. On a même le résultat suivant : $F \cup G$ est un sev de $E$ ssi $F$ est inclus dans $G$ ou $G$ est inclus dans $F$.

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