Foncteurs $\mathrm{Ext}/\mathrm{Tor}$
dans Algèbre
Bonsoir à tous,
À la page $ 4 $ du pdf inséré ci-joint, l'auteur détermine comment est défini le groupe $ \mathrm{Ext}^1 (A,B) $ avec : $ A $ et $ B $ sont deux $ R $-modules. Il les défini comme suit :
$ \mathrm{Ext}^1 (A,B) $
$ = \{ \ \text{the free} \ \mathbb{Z} - \text{module on isomorphism classes} \ [A \to E \to B ] \ \} / \langle [A \to E_1 \to B ] + [ A \to E_2 \to B ] = [ A \to E \to B ] \rangle $
avec : $ E = ( E_1 \times_B E_2 ) / \{ \ ( i_1 (a) , - i_2 (a) ) \ : \ a \in A \ \} $
À la page $ 22 $ du pdf inséré ci-joint, l'auteur affirme que $ \mathrm{Ext}^i ( A,B ) $ est construit à partir de suites exactes de la forme : $ 0 \to A \to M_1 \to \dots \to M_i \to B \to 0 $ modulo un sous groupe $ C $ de chaînes de morphismes qu'il ne définit pas malheureusement, afin de construire une structure de groupe sur $ \mathrm{Ext}^i ( A,B ) = \{ \ \text{the free} \ \mathbb{Z} - \text{module on isomorphism classes} \ [A \to M_1 \to \dots \to M_i \to B ] \ \} / C $ comme c'est fait ci-dessus pour : $ \mathrm{Ext}^1 (A,M) $. Pouvez vous me dire comment est définie $ C $ s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
À la page $ 4 $ du pdf inséré ci-joint, l'auteur détermine comment est défini le groupe $ \mathrm{Ext}^1 (A,B) $ avec : $ A $ et $ B $ sont deux $ R $-modules. Il les défini comme suit :
$ \mathrm{Ext}^1 (A,B) $
$ = \{ \ \text{the free} \ \mathbb{Z} - \text{module on isomorphism classes} \ [A \to E \to B ] \ \} / \langle [A \to E_1 \to B ] + [ A \to E_2 \to B ] = [ A \to E \to B ] \rangle $
avec : $ E = ( E_1 \times_B E_2 ) / \{ \ ( i_1 (a) , - i_2 (a) ) \ : \ a \in A \ \} $
À la page $ 22 $ du pdf inséré ci-joint, l'auteur affirme que $ \mathrm{Ext}^i ( A,B ) $ est construit à partir de suites exactes de la forme : $ 0 \to A \to M_1 \to \dots \to M_i \to B \to 0 $ modulo un sous groupe $ C $ de chaînes de morphismes qu'il ne définit pas malheureusement, afin de construire une structure de groupe sur $ \mathrm{Ext}^i ( A,B ) = \{ \ \text{the free} \ \mathbb{Z} - \text{module on isomorphism classes} \ [A \to M_1 \to \dots \to M_i \to B ] \ \} / C $ comme c'est fait ci-dessus pour : $ \mathrm{Ext}^1 (A,M) $. Pouvez vous me dire comment est définie $ C $ s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
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Réponses
Note : dans ta manière de procéder (mais cela ne me regarde pas), on pourrait avoir l'impression de mettre la charrue avant les boeufs. Enfin, ce que j'en dis.
Alors pour résumer ce que dit Bourbaki :
Il affirme que, si $ \theta , \theta ' \in \mathrm{Ext}_A^n ( M,N ) $ deux classes représentés respectivement par les suites $ 0 \to N \to R_n \to R_{n-1} \to ... \to R_1 \to M \to 0 $ et $ 0 \to N \to R_n' \to R_{n-1}' \to ... \to R_1' \to M \to 0 $
Alors, $ \theta + \theta ' \in \mathrm{Ext}_A^n ( M,N ) $ est définie par : $ 0 \to N \to R_n'' \to R_{n-1} \oplus R_{n-1}' \to ... \to R_2 \oplus R_2 ' \to R_1'' \to M \to 0 $ avec : $ R_{n}'' = ( R_n \oplus R_n ' ) / \langle \ ( f_{n+1} (x) , - f_{n+1} ' (x) ) \ | \ x \in N \ \rangle $ et $ R_1'' = R_1 \times_M R_1 ' $.
Non ?
Ainsi, la loi du groupe $ \mathrm{Ext}_A^n ( M,N ) $ est bien définie, mais $ \mathrm{Ext}_A^n ( M,N ) $ n'est pas un quotient, donc $ C $ n'existe pas, non ?
Merci d'avance.
$ = [ N \to R_n'' \to R_{n-1} \oplus R_{n-1}' \to ... \to R_2 \oplus R_2 ' \to R_1'' \to M ] \rangle $
avec : $ R_{n}'' = ( R_n \oplus R_n ' ) / \langle \ ( f_{n+1} (x) , - f_{n+1} ' (x) ) \ | \ x \in N \ \rangle $ et $ R_1'' = R_1 \times_M R_1 ' $.
Non ?
$ \mathrm{Ext}^i ( M,N ) $ est un quotient qui se met sous la forme : $ \mathrm{Ext}^i ( M,N ) = Z^n ( R \mathrm{Hom} (M,N ) ) / B^n ( R \mathrm{Hom} (M,N ) ) = H^n ( R \mathrm{Hom} (M,N ) ) $. C'est exactement ce qu'a écrit Cyrano que je remercie. :-) et ce que raconte Bourbaki aussi.
D'accord, je comprends Claude, tu fais allusion au théorème 1, paragraphe : 5 - Relation entre suites exactes et éléments de $ \mathrm{Ext}_A (M,N) $. D'accord. :-)
Et pour le foncteur $ \mathrm{Tor}_A^n (P,Q) = H^n ( R(P \otimes Q)) $ ... ? ... Est-ce qu'il y'a un analogue de ce théorème $ 1 $ page $ 121 $ pour les foncteurs $ \mathrm{Tor}_A^n $ ?
Merci d'avance.
Il est commun de noter $P \overset{\text{L}}\otimes Q.$
Tu voudrais dire que : $ \mathrm{Tor}_i^A (P,Q) = H_i ( L ( P \otimes Q ) ) $ ?
On a : $ \mathrm{Tor}_i^A (P,Q) = H_i ( L ( P \otimes Q ) ) $ ou bien : $ \mathrm{Tor}_i^A (P,Q) = H^i ( L ( P \otimes Q ) ) $ ?
Merci d'avance.
On sait donc d'après Bourbaki, page : $121$, théorème $ 1 $, que $ \mathrm{Ext}_A^n (M,N) $ est constitué de classes de suites exactes de la forme : $ 0 \to N \to R_n \to \dots \to R_1 \to M \to 0 $ modulo une relation d'équivalence.
Et pour le foncteur $ \mathrm{Tor}_A^n (P,Q) = H^{-n} ( L(P \otimes Q)) $ ... ? ... Est-ce qu'il y'a un analogue de ce théorème $ 1 $ page $ 121 $ pour les foncteurs $ \mathrm{Tor}_A^n $ ?
Merci d'avance.
Help Maxtimax puisque tu es assez familier avec : ext, et : tor. :-)
Merci d'avance.
en la tensorisant par $A$ on obtient une suite exacte longue, mais comme $\Q$ est $\Z$-plat, elle est de la forme $0\to \mathrm{Tor}^\Z_1(A,\Q/\Z)\to A\to A\otimes \Q \to A\otimes \Q/\Z\to 0$, or il est connu que $A\otimes \Q$ est la $A/T(A) \otimes \Q$, où $T(A)$ désigne le sous-groupe de torsion de $A$; et que $A/T(A)$ étant sans torsion, l'application $A/T(A) \to A/T(A) \otimes \Q$ est injective, de sorte que le noyau de $A\to A\otimes \Q$ est précisément $T(A)$. Donc $\mathrm{Tor}^\Z_1(A,\Q/\Z) = T(A)$.
Un autre exemple est $\Z/n\Z$, l'interprétation provient de la suite exacte courte $0\to \Z\to \Z \to \Z/n\Z \to 0$; dans ce cas tensoriser avec $A$ donne la suite exacte $0\to \mathrm{Tor}^\Z_1(A,\Z/n\Z) \to A\to A \to A\otimes \Z/n\Z \to 0$, où la flèche $A\to A$ est la multiplication par $n$. Ainsi $\mathrm{Tor}^\Z_1(A,\Z/n\Z)$ est le noyau de la multiplication par $n$, aussi appelé "la $n$-torsion de $A$". Cela explique sûrement le nom $\mathrm{Tor}$ d'ailleurs (petite remarque en passant : le premier exemple se déduit en fait de celui-là)
Il y a d'autres exemples où $\mathrm{Tor}$ a une interprétation intéressante (enfin je connais surtout les interprétations de $\mathrm{Tor}_1$, pas les supérieurs), mais je ne connais pas d’interprétation générale.
Merci beaucoup pour la réponse.
Je suis heureux de trouver un homme sur le forum capable de m'aider sur les notions que j'ai des difficultés à saisir. Tu es une encyclopédie qui marche à deux pieds. :-D
Bravo. Continue sur la meme voix.
J'aimerais savoir qu'est ce qui différencie les groupes $ \mathrm{Ext}^{n} $ et leurs faisceaux associés d'un coté, et les groupes de $ K $ -theory de l'autre coté ?
Pour le moment, je suis familier seulement avec le groupe et l'anneau : $ K_0 $ et $ K^0 $. Pour les groupes supérieurs et inférieurs, je ne suis pas à l'aise avec ces groupes.
Merci d'avance.
Je pense que ce qui les différencie c'est qu'ils ne sont pas définis de la même manière :-D (je ne sais pas ce que tu appelles "faisceaux associés" de $\mathrm{Ext}^n$)
Si c'est toi qui dit ça, c'est que tu n'as jamais de ta vie ouvert un cours de $ K $ - theory. :-)
D'un autre côté, les groupes Ext sont des objets qui sont associés non seulement à X mais aussi au choix de faisceaux $F,G$ sur X.
Il y a un vague rapport entre les deux, en effet en utilisant Ext on peut définir un produit scalaire sur $K_0$ qui contient plus d'informations.
Familier avec $K_0$ ? Parlons peu mais parlons bien. Petit joueur, je prends un anneau commutatif $A$. Tu nous expliques ce qu'est $K_0(A)$ et tu nous donnes quelques exemples pertinents ?
Il faut que tu comprennes une chose, je ne suis qu'un simple apprenti qui apprend des cours se trouvant sur le net en autodidacte depuis plus de 13 ans. J'ai un compte qui date de 13 ans sur ce forum et qui a été malheureusement supprimé par les modérateurs à cause de simples petits malentendus. Je ne me mesure à personne sur ce forum, je suis sur le forum pour échanger et trouver quelqu'un pour me soutenir dans mon parcours personnel. Je n'ai meme pas une Licence. Je n'ai qu'un DEUG obtenu il y'a plus de 13 ans. Donc, si je dis que je suis familier un peu avec $ K_0 $, c'est dans le sens que je maîtrise très bien l'aspect théorique de cette partie du cours de $ K $ - theory. Mais pour passer au moindre calcul technique, je bute dès la première étape, parce que je ne fais que très peu d'exercices. Sur le net, il est difficile de trouver des exercices de calcul pratiques et élémentaires suivis de leurs corrigés. Ce n'est pas de ma faute. On fait ça dans les bancs des amphi en cours de TD, et parfois meme en TD, le prof zappe cette étape et passe aux exos théoriques directement par manque de temps et laisse ça à la charge de ses étudiants innocents. Dommage.
Désolé pour ce long pavé.
Pablo:
A mon avis, quand je vois ce que tu comprends quand on te parle de "classification des groupes" avant de penser à te qualifier pour courir le 100m aux jeux olympiques tu devrais t'entrainer à marcher. (il faut le prendre comme une métaphore, pas au premier degré).
PS:
Claude Quitté:
Honnêtement tu as appris l'algèbre en lisant SEULEMENT les traités de Bourbaki?
Je sais, mais c'est en dehors de ma volonté.
Comble tes lacunes et , (à minima) continue à te livrer à ta "perversion".
Tu vois bien que si ton but (inconscient) est d'obtenir de la reconnaissance ici, tu ne l'obtiendras pas en alignant des réponses dignes d'un gourou new-age (utilisation irraisonnée de mots compliqués pour impressionner l'auditoire, lui montrer qu'on sait des trucs: la culture c'est comme la confiture.... )
Inscris toi sur Mathexchange et fais la même chose que ce que tu fais ici.
Le retour que tu obtiendras sans doute te fera mieux comprendre probablement ce qui t'est souvent reproché ici.
Il y'a un autre sentiment plus fort que tout ce que j'ai raconté :
Lors d'un échange verbale autour d'un sujet mathématique, il se trouve que ton interlocuteur maîtrise parfaitement les différents points d'un sujet, et connait ses petits secrets. Quant il te fait découvrir l'essence qui régit une notion, alors que toi tu as une idée un peu sobre que tu as découvert en lisant une définition et un théorème, quel sensation ça procure ? N'est ce pas fort ça ? Quel plaisir ça procure !. parce que tu deviens plus stable dans ton âme après une période de perte de conscience et de détournement, tu te trouves en situation de force en appréhendant parfaitement l'idée après ce court échange. Tu te sens en situation de force, et ton cerveau devient plus flexible face à la manip de cette notion. Quel plaisir on ressent !
Dans un premier temps tu devrais te restreindre à ne poster QUE sur tes fils et pas sur ceux des autres car tu gênes les autres intervenants. (Peux-tu le comprendre ?)
Ne t'inquiète pas pour moi Cyrano, parce que l'homme est toujours méchant par sa nature. C'est une loi biologique comme la loi de Newton en physique. :-)
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1776896
Tu as déjà oublié?
Résoudre un exercice, c'est le chercher avec seulement ce qu'on sait.
Ce n'est pas lire la solution, se dire, "ah c'est bien sûr, qu'est-ce que c'est simple finalement" puis recopier la solution.
Je pense que si tu as la solution à porter de main tu ne résisteras pas à l'envie de lire la solution avant d'avoir cherché par toi-même.
Tu as perdu des années à ne pas suivre ces simples conseils. Si tu avais suivi ces conseils scrupuleusement tu comprendrais surement un tas de trucs aujourd'hui. Tu vas encore perdre dix ans?
PS:
Tu parles de gâcher du temps. Mais tu ne fais que ça, au moins en ce qui concerne les mathématiques.
Tu crois que les connaissances viennent toutes seules dans la tête des gens?
Même si les gens sont très efficaces dans leur apprentissage cela prend du temps, voire beaucoup de temps.
Si on n'a pas ce temps à consacrer à l'étude (tout le monde ne l'a pas j'en suis bien conscient) il vaut mieux s'abstenir et faire autre chose.
C'est ton point de vue, mais tu ne dois me l'imposer, car je l'ai testée et je me suis rendu compte à quel point elle est inefficace cette méthode de travail devant l'immensité et l'expansion quantitative des idées mathématiques..
Que veux-tu dire par efficace?
Je ne veux pas t'accabler mais ce que je peux voir je ne le qualifierai pas d'efficace.
Tu écoutes les mathématiques comme d'autres écoutent de la musique. Mais tu ne sais pas en jouer, tu resteras un mathématomane* et pas un mathématicien: cela te crée une émotion de voir des formules sur l'écran de ton ordinateur mais cela reste essentiellement un mystère pour toi parce que tu n'as pas l'intimité avec les mathématiques qu'on obtient avec l'étude sérieuse pratiquée sur de longues années.
PS:
Oui, c'est dur d'étudier: on se sent souvent impuissant quand on ne parvient pas à résoudre un exercice, à comprendre dans les cinq minutes une notion nouvelle (pour nous) c'est très désagréable pour l'égo, on se sent minable (Villani il aurait résolu cet exo' en deux coups de cuillère à pot (si vous n'aimez pas Villani remplacez le par votre médaillé Fields préféré)). Il faut arriver à surmonter ce déplaisir autrement on n'apprend rien de sérieux.
*: J'ai construit ce mot en pensant à mélomane. Généralement le mélomane ne sait pas jouer d'un instrument de musique (c'est mon cas). Aimer écouter de la musique et en jouer sont deux activités qui ne sont pas exactement les mêmes.
Et très franchement, apprendre la différence entre une implication et sa réciproque n'a rien à voir avec le fait d'être un ordinateur, c'est quelque chose d'accessible à n'importe quel enfant de 8 ans, et doit devenir un automatisme à travers un travail rigoureux. Ce n'est pas le temps qui t'a manqué pendant treize ans pour apprendre ça. Et tes lacunes ne se limitent pas à ça malheureusement.
Edit : Pardon. Croisement avec le message de Boole et Bill.
on ne te connaît pas personnellement, on n'a que tes élucubrations sur les forums, depuis quinze ans. Et tes interlocuteurs sont sacrément patients !
C'est ta façon de faire qui les amène à te parler comme ça, comme on parle à un gamin buté, à un ado mal dans sa peau...
Si tu veux être respecté, il te faut être respectable. Écrire des âneries sous prétexte de recherches de haut niveau, perturber des fils de discussions en faisant le cuistre, ce n'est pas être respectable. Depuis 15 ans on te dit que ce que tu fais, ce n'est pas des maths, et tout le monde t'a vu écrire n'importe quoi, puis t'excuser bassement comme dans ce fil, sur des bases des maths. Tout le monde sait que tu ne comprends pas ce que tu écris, alors arrête d'écrire n'importe quoi.
Pablo n'est même pas un troll, c'est plus grave !!
Cordialement.
Je ne vais pas m'avancer sur ce que tu dis et affirmer "non tu ne maîtrises pas du tout la théorie", même si c'est ce que je pense, parce que je ne serais pas capable de définir précisément ce que "maîtriser la théorie" veut dire, ou encore parce que je ne t'ai jamais vu raconter de théorie pour voir si tu la maîtrises ou pas; mais ce que je peux dire, c'est que les questions que tu poses, la manière dont tu les poses, les notions que tu invoques hors-contexte, ou mal, tout ça ne participe pas à nous faire croire qu'effectivement tu maîtrises une quelconque théorie. Tout ça peint plutôt le dessin d'une personne qui s'est renseignée sur beaucoup de sujets mais à très petites doses, en lisant au mieux les premières définitions et quelques heuristiques très vagues.
Je me trompe peut-être, c'est ce que tu sembles dire, mais c'est l'image que ça renvoie, et pour le moment tu n'as rien fait sur ce forum qui puisse aller à l'encontre cette image.
A cela se rajoute ce que disait Cyrano : tu balances des notions hors contexte que tu ne maîtrises pas (ne semble pas maîtriser, mais à nouveau rien de ce que tu racontes ne va à l'encontre de ça), ce qui risque beaucoup d'engendrer de la confusion chez les personnes qui demandaient initialement de l'aide : ces personnes risquent de se dire que c'est beaucoup trop compliqué parce que tu parles de catégories dans un fil portant sur une identité remarquable, alors que ça ne l'est pas.
Cyrano : selon moi un troll ne prendrait pas le mal de faire toutes les recherches de surface que j'ai mentionnées (il faut se plonger assez loin pour tomber sur des complexes de Kan et de la K-théorie par exemple) - j'ai plus l'impression que Pablo ne se rend pas compte de ce que "comprendre" une notion, "la maîtriser" peut vouloir dire (mais je me trompe peut-être)
Cela fait des décennies que j'écume les expo' de peinture et d'art en général. Cela ne fait pas de moi un artiste peintre. Je ne suis même pas capable de faire mon auto-portrait tellement je dessine mal (je pourrais prendre des cours mais je n'ai pas ce temps à consacrer à cette activité)
Mais cela ne m'empêche pas de prendre du plaisir à regarder modestement ce que les autres peignent.