Matrice et extension

Light*
Light*
dans Algèbre
Bonjour à toutes et à tous
Mon message est quelque peu hésitant alors je vais essayer de bien le construire.

Soient $K$ un corps, $L$ une extension de $K$ (on peut se contenter d'une extension quadratique). Il y a-t-il une (ou des) conditions pour que $(x,y) \in K^2$ soit solution de l'équation : $$
M \begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
e \\
f \\
\end{pmatrix}
$$ où $a,b,\ldots,e,f \in L$ et $M$ est inversible dans $L$ ?

Mon problème étant que, multipliant par $M^{-1}$ des deux côtés, le membre de droite ne soit pas dans $K^2$ ! Il faudrait faire du cas par cas, ou il y a-t-il des éléments de théorie derrière ?
En espérant avoir été clair... merci !

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Tu n'as rien quantifié donc ta question est vide. Pour n'importe quels $a, b, c, d \in L$, $M \begin{pmatrix}

    x \\

    y \\

    \end{pmatrix} \in L^2$.
  • Light*
    Light*
    Quel est le problème? Ce qui me gène est que $ M^{-1} \begin{pmatrix}
    e \\
    f \\
    \end{pmatrix} $ n'est peut-être pas dans $K$ !
  • reuns
    reuns
    Avec $L \cong K[x]/(f)$ ta matrice de $M_2(L)$ devient un élément de $M_2(K)[x]/(f)$, pareil pour ton vecteur

    Si $L/K$ est quadratique alors tu connais l'automorphisme tel que $K = L^\sigma$ et tu peux regarder $(Mv)^\sigma$ et comparer avec $Mv$

    Si $ w = Mv$ alors $v = M^{-1} w$.

    $v$ peut très bien être dans un corps plus petit que $M, w$, et alors ?
  • Light*
    Light*
    @reuns Le $(f)$ avec lequel tu as quotienté n'est pas le même que mon $f$ dans $\begin{pmatrix}
    e \\
    f \\
    \end{pmatrix}$ je suppose ?

    "$v$ peut très bien être dans un corps plus petit", bien sûr, mais est-ce toujours possible? Pour bien comprendre ma question (et surtout vos réponses), on va se placer dans $\mathbb{C}$. Selon vous, existe-t-il toujours $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tel que :
    $$ \begin{pmatrix}
    z_1 & z_2\\
    z_3 & z_4 \\
    \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
    x \\
    y \\
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    z \\
    z' \\
    \end{pmatrix} $$
    avec $z_i, z, z' \in \mathbb{C}$ non réels ?
  • melpomène
    melpomène
    Bah non! pourquoi voudrais-tu que ça existe ?
  • Light*
    Light*
    Bah c'est ce que je me disais aussi... non mais désolé de vous avoir dérangés
  • melpomène
    melpomène
    Il n'y a pas à être désolé, c'est moi qui m'excuse si ma réponse a pu paraître un peu lapidaire.

    Il faudrait que tu éclaircisses un peu ce que tu veux, ceci dit.

    Si je résume, on dispose d'une extension de corps $L/K$, et de $M\in GL_2(L)$.

    C'est là que ce n'est pas clair. Est-ce que ta question, c'est:

    1. Pour tout $w\in L^2$, il existe $v\in K^2$ tel que $Mv=w$ ?


    ou

    2. Il existe $w\in L^2$ et $v\in K^2$ tel que $Mv=w$?

    ou autre chose ?

    Si c'est 1., cela revient à dire que $M^{-1}w$ est dans $K^2$ pour tout $w$, et ça c'est impossible (ça impose que $M$ soit à coefficients dans $K$, mais alors on peut trouver un $w$ qui ne fonctionne pas)

    Si c'est 2., cela revient à dire qu'il existe $w$ tel que $M^{-1}w$ soit dans $K^2$, et ça c'est trivial, car $M^{-1}$ atteint tous les vecteurs de $L^2$.

    ça marche pareil avec des matrices de taille plus grande.

    Mel.
  • Light*
    Light*
    Merci de ta réponse melpomène ;)

    Au début, je pensais à ta première question. Mais effectivement, on peut y répondre très vite. Du coup je me suis demandé par pure curiosité (je reprend tes notations) :
    - Sachant $w_1,w_2,...,w_n \in L^2$ et $v_1,v_2,...v_n \in K^2$, est-ce qu'il existe $M \in Gl_2(L)$ tel que $Mv_i=w_i$ pour tout i?
  • melpomène
    melpomène
    Sans conditions sur les $v_i$ et $w_i$, non. Une condition nécessaire que $(v_1,\ldots,v_n)$ et $(w_1,\ldots, w_n)$ soient de même rang sur $L$,
    car appliquer une matrice inversible à un système de vecteurs conserve son rang


    Même avec ça, c'est faux en général. Prends $n=2$, $v_2=v_1$ et $w_2=2w_1$, avec $v_1$ et $w_1$ non nuls.
  • Light*
    Light*
    Bah oui bien sûr... merci. En fait, j'ai une question, mais je n'arrive pas à mettre des mots dessus. C'est très embêtant !

    Dernière question, a-t-on une condition sur $M \in GL_2(L)$ et $w \in L^2$ pour que $Mw \in K^2$?
  • melpomène
    melpomène
    Light* a écrit:
    En fait, j'ai une question, mais je n'arrive pas à mettre des mots dessus. C'est très embêtant !

    C'est parce que les choses ne sont pas très claires dans ta tête. Réfléchis calmement à ce que tu veux, ça viendra.

    Pour la seconde question, je ne peux rien te dire de mieux que $\overline{Mw}=Mw$, où $\overline{x+y\sqrt{d}}=x-y\sqrt{d}$.
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