Polynôme minimal d'une matrice compagnon

FL · December 2018

Bonjour,

Quelle(s) méthode(s) permet(tent) de démontrer que le polynôme minimal de la matrice compagnon du polynôme $P$ est $P$ sans utiliser la théorie des endormophismes cycliques ?

(J'ai essayé en partant du polynôme caractéristique mais je bloque dans le cas où $P$ n'est pas scindé simple).

Merci.

Math Coss · December 2018

Si $C$ désigne la matrice compagnon (ou sa transposée ?) et $n$ sa taille, si $e_1$ est le premier vecteur de la base canonique, les $n-1$ vecteurs $(e_1,Ce_1,\dots,C^{n-2}e_1)$ sont visiblement et linéairement indépendants, de sorte qu'aucun polynôme non nul en $C$ de degré $n-1$ au plus ne saurait annuler $C$ (car l'image de $e_1$ n'est pas nulle).