Polynôme minimal d'une matrice compagnon
Bonjour,
Quelle(s) méthode(s) permet(tent) de démontrer que le polynôme minimal de la matrice compagnon du polynôme $P$ est $P$ sans utiliser la théorie des endormophismes cycliques ?
(J'ai essayé en partant du polynôme caractéristique mais je bloque dans le cas où $P$ n'est pas scindé simple).
Merci.
Quelle(s) méthode(s) permet(tent) de démontrer que le polynôme minimal de la matrice compagnon du polynôme $P$ est $P$ sans utiliser la théorie des endormophismes cycliques ?
(J'ai essayé en partant du polynôme caractéristique mais je bloque dans le cas où $P$ n'est pas scindé simple).
Merci.
Réponses
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Si $C$ désigne la matrice compagnon (ou sa transposée ?) et $n$ sa taille, si $e_1$ est le premier vecteur de la base canonique, les $n-1$ vecteurs $(e_1,Ce_1,\dots,C^{n-2}e_1)$ sont visiblement et linéairement indépendants, de sorte qu'aucun polynôme non nul en $C$ de degré $n-1$ au plus ne saurait annuler $C$ (car l'image de $e_1$ n'est pas nulle).
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Essayer de montrer qu'il est de degré $n$ (si $A\in M_n$)?
(Trop tard! cf réponse ci-dessus ;-)) -
Merci à vous 2, ce n'était pas dur en fait (mais trop dur ppur moi quand même :-S )
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Bonjour!
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