Sous-espace caractéristique

Une petite puissance ;-)

Si $\lambda$ est une valeur propre de $f$, alors

sur le sous-espace espace propre pour $\lambda$, on a $f-\lambda Id = 0$.
(le sous-espace propre est le plus grand sous-espace vectoriel comme ceci !)

sur le sous espace caractéristique pour $\lambda$, on a $f-\lambda Id$ nilpotente.
(le sous-espace caractéristique est le plus grand sous-espace vectoriel comme cela !)

Nota bene : nilpotente c'est moins fort que "être nulle", mais c'est dans la même famille de propriétés. (par exemple 0 est alors la seule valeur propre)

Oui, mais en pratique je ne vois pas bien comment on pourrait faire à part calculer des puissances de $f$, ce qui n'est pas plus simple que de calculer le polynôme caractéristique. Si $(X-\lambda)^m$ (avec $m \geq 1$) est la plus grande puissance de $X-\lambda$ divisant ce polynôme caractéristique, alors l'espace caractéristique associé à la valeur propre $\lambda$ est $\ker((f-\lambda id)^m)$.

Pour la théorie, ces sous-espaces servent par exemple à montrer qu'un endomorphisme à polynôme caractéristique scindé est trigonalisable, ce qui est une conséquence immédiate du lemme des noyaux appliqué à la famille des puissances de facteurs de degré $1$ dans la décomposition du polynôme caractéristique en produit de polynômes irréductibles, ou d'autres résultats de réduction, comme la décomposition de Dunford ou celle de Jordan. Ils servent également en pratique pour la décomposition de Jordan par exemple.