Diversion : on peut présenter le corps des complexes comme $\C=\R[X]/(X^2+1)$ et $\mathrm{i}=\bar{X}$. Par construction, $\mathrm{i}^2+1=0$, il y a une autre racine de $T^2+1$ (polynôme en une indéterminée $T$ à coefficients dans $\C$) dans $\C$ (laquelle ?) mais tout élément de $\C$ n'est pas une racine.
NB : Je lève l'ambiguïté créée par l'usage multiple de $X$.
S'il y avait une racine $\newcommand{\F}{\mathbf{F}}\alpha\in\F_5$, disons simple, le polynôme se factoriserait en $X^3+X+1=(X-\alpha)Q$ et le quotient se décomposerait par le lemme chinois en $\F[X]/(X-\alpha)\times\F[X]/(Q)$, qui n'est jamais un corps.
Ouf! j'ai compris je crois, donc l'indication qui aurait du me parler dans l'énoncé est que L est un corps, l'existence d'une racine aurait été incompatible avec ce fait, c'est cela?
@raboteux,
Absolument, mais il y a bien plus d'informations importantes et intéressantes dans la réponse de Math Coss:
- Le lemme chinois te dit que si dans un anneau principal $A$, les éléments $a_1, a_2,...,a_n$ sont premiers entre eux deux à deux, alors on a le résultat suivant :
$A/aA$ est isomorphe à $A/a_1 A \times...\times A/a_n A$, en notant le produit des $a_i$.
- Le produit cartésien de deux corps n'est jamais un corps (il suffit de voir ce qu'il se passe du côté de ses inversibles).
Et oui, $\newcommand{\F}{\mathbf{F}}\F_p [X] /(P)$ est un corps si et seulement si $(P)$ est irréductible(dans $\newcommand{\F}{\mathbf{F}}\F_p [X]$ évidemment).
Bonjour
en notant comme dans l'ouvrage la classe de $X$ par $\alpha$,
et en utilisant $\alpha^3=-\alpha-1$, on peut faire des choses sans logiciel
à partir de $\alpha^4=-\alpha^2-\alpha$
on trouve assez rapidement $\alpha^{8,16,32}$ en fonction de $1,\alpha,\alpha^2$ :
$\alpha^8=2\alpha-2$, et là on peut élever à la puissance $4 $ (sans passer par $\alpha^{16}$)
ce qui donne
$\alpha^{32}=-\alpha$
donc $\alpha^{31}=-1$, et $\alpha$ est bien d'ordre $62$.
et aussi $-\alpha$ est d'ordre $31$, ainsi que $\alpha^2+1$
puisque $-\alpha$ et $\alpha^2+1$ sont inverses l'un de l'autre
En remarquant que $\alpha+1=-\alpha^3$, on voit qu'effectivement $\alpha+1$ est d'ordre $31$.
Par contre pour $\alpha+2$ et $\alpha+3$, je trouve que leur ordre est $62$ et pas $31$, puisque je trouve que leur puissance $31$ est $-1$ ; mais bon ma main a probablement flanché :
$(\alpha+3)^2=\alpha^2+\alpha-1$
$(\alpha+3)^4=-2\alpha^2-1$
$(\alpha+3)^8=\alpha+1$
là aussi on peut élever à la puissance 4 et
$(\alpha+3)^{32}=-\alpha-3$
Dans le prolongement de mon apprentissage des corps finis, j'ai quelques difficultées de compréhension sur cette introduction de la notion de corps de rupture :
En particulier, il semble évident dans l'explication que $f(x)=0$, mais ce n'est pas si trivial pour moi, pouvez vous m'aider en m'apportant un bout d'explication complémentaire?
Posons $f = \sum_{k=0}^d a_k X^k \in \mathbb K[X]$. Si $x$ désigne la classe du polynôme $X$ dans le quotient $\mathbb K[X]/(f)$, alors on a par définition $$f(x) = \sum_{k=0}^d \overline{a_k} x^k = \overline{\sum_{k=0}^d a_k X^k} = \overline{f(X)} = \overline{0}.$$
Une petite question car il reste un truc qui me chiffonne : en fait tu évalues ton polynôme en $\overline{X}$ si je comprends bien. Mais alors pourquoi les $a_k$ deviennent des $\overline{a_k}$?
On considère que $\mathbb K \subset \mathbb K[X]/(f)$ via $a \mapsto \overline{a}$. Il est facile de voir qu'il s'agit bien d'un morphisme d'anneaux injectif puisque $f$ n'est pas constant. De la même manière, $\mathbb K[X]$ se plonge dans $\mathbb L[X]$ via cette même identification au niveau des coefficients, disons que l'on note $\varphi : \mathbb K[X] \rightarrow \mathbb L[X]$ cette application. Ainsi, ce que l'on note abusivement $f(x)$ correspond en fait à $ev_x(\varphi(f))$ où $ev_x : \mathbb L[X] \rightarrow \mathbb L$ est le morphisme d'évaluation en $x$ : on "voit" $f$ comme un polynôme à coefficients dans le suranneau $\mathbb L$, et donc $$ev_x(\varphi(f)) = \sum_{k=0}^d \overline{a_k} x^k.$$
Réponses
Puis-je en déduire que tout élément de L serait racine du polyôme qui engendre l'idéal par lequel on quotiente?
Ca fait un peu beaucoup de racines pour un polynôme de degré $3$ sur un corps ;-)
Désolé pour les questions naives mais je découvre ce chapitre et ne maitrise pas encore toute les notions...
En paraphrasant Math Coss, que vaut $\overline{X^3+X+1}$?
NB : Je lève l'ambiguïté créée par l'usage multiple de $X$.
Merci encore.
Absolument, mais il y a bien plus d'informations importantes et intéressantes dans la réponse de Math Coss:
- Le lemme chinois te dit que si dans un anneau principal $A$, les éléments $a_1, a_2,...,a_n$ sont premiers entre eux deux à deux, alors on a le résultat suivant :
$A/aA$ est isomorphe à $A/a_1 A \times...\times A/a_n A$, en notant le produit des $a_i$.
- Le produit cartésien de deux corps n'est jamais un corps (il suffit de voir ce qu'il se passe du côté de ses inversibles).
Et oui, $\newcommand{\F}{\mathbf{F}}\F_p [X] /(P)$ est un corps si et seulement si $(P)$ est irréductible(dans $\newcommand{\F}{\mathbf{F}}\F_p [X]$ évidemment).
en notant comme dans l'ouvrage la classe de $X$ par $\alpha$,
et en utilisant $\alpha^3=-\alpha-1$, on peut faire des choses sans logiciel
à partir de $\alpha^4=-\alpha^2-\alpha$
on trouve assez rapidement $\alpha^{8,16,32}$ en fonction de $1,\alpha,\alpha^2$ :
$\alpha^8=2\alpha-2$, et là on peut élever à la puissance $4 $ (sans passer par $\alpha^{16}$)
ce qui donne
$\alpha^{32}=-\alpha$
donc $\alpha^{31}=-1$, et $\alpha$ est bien d'ordre $62$.
et aussi $-\alpha$ est d'ordre $31$, ainsi que $\alpha^2+1$
puisque $-\alpha$ et $\alpha^2+1$ sont inverses l'un de l'autre
En remarquant que $\alpha+1=-\alpha^3$, on voit qu'effectivement $\alpha+1$ est d'ordre $31$.
Par contre pour $\alpha+2$ et $\alpha+3$, je trouve que leur ordre est $62$ et pas $31$, puisque je trouve que leur puissance $31$ est $-1$ ; mais bon ma main a probablement flanché :
$(\alpha+3)^2=\alpha^2+\alpha-1$
$(\alpha+3)^4=-2\alpha^2-1$
$(\alpha+3)^8=\alpha+1$
là aussi on peut élever à la puissance 4 et
$(\alpha+3)^{32}=-\alpha-3$
Rem : $(\alpha+2)(\alpha+3)=\alpha^2+1$
Dans le prolongement de mon apprentissage des corps finis, j'ai quelques difficultées de compréhension sur cette introduction de la notion de corps de rupture :
En particulier, il semble évident dans l'explication que $f(x)=0$, mais ce n'est pas si trivial pour moi, pouvez vous m'aider en m'apportant un bout d'explication complémentaire?
Merci.
Une petite question car il reste un truc qui me chiffonne : en fait tu évalues ton polynôme en $\overline{X}$ si je comprends bien. Mais alors pourquoi les $a_k$ deviennent des $\overline{a_k}$?