Produits scalaires tous différents

Chalk · December 2018

Bonjour à tous,

A la lecture d'un papier je me suis posé une question que je n'ai pas réussi à résoudre. Ça a l'air très simple mais je suis tout rouillé :-D

Soit $x_1, \ldots, x_n$ des vecteurs réels en dimension $d \geq 1$. On suppose que tous ces vecteurs sont différents. Alors il existe $a \in \mathbb R^d$ tel que les produits scalaires $<a,x_1>, \ldots, <a,x_n>$ soient tous différents.

J'ai même envie de dire que c'est vrai pour presque tout $a$. Mais rien que de démontrer l'existence d'un seul me pose problème ... Vous avez une idée ?
Merci d'avance.

paf · December 2018

Bonjour,

Un vecteur $a$ tel qu'au moins deux des produits scalaires que tu cites soient égaux vérifie
$$\exists i\neq j,\;\langle a, x_i\rangle = \langle a,x_j\rangle \text{ i.e. } \langle a, x_i-x_j\rangle = 0$$
donc il vit dans l'union finie des hyperplans $\{a, \langle a, x_i-x_j\rangle = 0\}$.

Chalk · December 2018

Problem solved ! Et ça démontre bien que c'est vrai pour presque tout $a$. Merci beaucoup (tu)

Produits scalaires tous différents

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Bonjour!

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