Exercice idéaux maximaux

Crumby · December 2018

Bonjour, je prépare un examen et je bute sur un exercice dont l'énoncé est très simple:

-Trouver tous les idéaux maximaux de Q[X]/(X²+6X+5).
-L'anneau Z[X]/(5, X²+X+1) est-il un corps?

Pour la 1ère question je ne vois pas trop comment m'y prendre, j'ai d'abord écrit que X²+6X+5=(X+5)(X+1), le polynôme n'étant pas irréductible on sait que (X²+6X+5) n'est pas maximal... mais ça ne m'aide pas à dire lesquels le sont.

Pour la question 2, je pensais écrire que Z[X]/(5, X²+X+1)= (Z[X]/(X²+X+1))/(5), puis utiliser le fait que X²+X+1 est irréductible mais vu que Z[X] n'est pas principal (enfin je crois comme Z n'est pas un corps) ça ne m'aide pas beaucoup.

Merci pour vos réponses.

MrJ · December 2018

Pour ta seconde question, tu peux écrire
$$\mathbb{Z}[X]/(5,X^2+X+1) \simeq (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})/(X^2+X+1).$$
Il suffit donc d'étudier si le polynôme $X^2+X+1$ est irréductible dans $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$.

Math Coss · December 2018

Pour le premier exercice, voici deux attaques :

un idéal de $A/I$ est de la forme $J/I$ où $J$ est un idéal de $A$ contenant $I$ : quels sont les idéaux de $\Q[X]$ qui contiennent $X^2+6X+5$ ?
le lemme chinois doit te permettre de décrire le quotient de façon plus parlante.

Pour le deuxième, c'est une très bonne idée de faire le quotient en deux temps mais il est plus facile de le faire dans l'ordre inverse et de comparer à $\Z/5\Z[X]/(X^2+X+1)$ (i.e. comprendre pourquoi c'est la même chose et ce qu'est ce quotient).

Crumby · December 2018

Merci pour vos réponses, pour la question 2, si j'ai bien compris je dis:
Z/5Z étant un corps on a que Z/5Z[X] est principal, ensuite X²+X+1 est irréductible dans Z/5Z[X] car il n'a pas de racine et qu'il est de degré 2 donc (X²+X+1) est premier donc maximal (car on est dans un anneau principal), donc Z/5Z[X]/(X²+X+1) est un corps, donc Z[X]/(5,X²+X+1) est un corps, c'est bien ça?

Pour la question 1, vous me conseillez de chercher les idéaux qui contiennent X²+6X+5, pour cela je commence par dire que Q est un corps donc Q[X] est principal donc les idéaux que l'on cherche sont de la forme (P) où P est dans Q[X], or X²+6X+5=(X+1)(X+5) donc les idéaux qui contiennent X²+6X+5 sont (X+1), (X+5), (X²+6X+5) et bien sûr Q[X] lui même., mais je ne vois pas quoi dire ensuite

Poirot · December 2018

C'est bon pour $2$, modulo l'explication du fait que $\mathbb{Z}[X]/(5,X^2+X+1) \simeq (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})/(X^2+X+1).$

Pour la 1) bah tu n'as rien d'autre à dire, relis le message de Math Coss : les idéaux de $A/I$ sont en bijection avec les idéaux de $A$ contenant $I$ via $J \mapsto J/I$.

Crumby · December 2018

D'accord, cela veut donc dire que les idéaux que je recherche sont J/(X²+6X+5) où J est est un des 4 idéaux que j'ai cité au dessus, c'est bien ça?

mathematoc · December 2018

Et parmi eux, tu pioches ceux qui sont maximaux(contenus dans exactement deux idéaux: eux-mêmes et $\Q[X]$).

Crumby · December 2018

Si je comprends bien, il y a seulement 4 idéaux dans cet anneau, et parmi les maximaux on a bien sûr l'anneau tout entier, et (X+1)/(X²+6X+5) et (X+5)/(X²+6X+5) car (X+1) et (X+5) sont maximal dans Q[X], c'est cela ?

mathematoc · December 2018

Pour tout idéal $J$ de $A$ contenant $I$, $J/I$ est maximal dans $A/I$ si et seulement si $J$ est maximal dans $A$ non?

Crumby · December 2018

C'est ce que j'avais cru comprendre avec le message Poirot à propos de la bijection, c'est donc correct non?

brian · December 2018

Je crois que tu as fait une erreur sur la définition d'idéal maximal. Je suggère de relire le message de mathematoc. Dit autrement, un idéal maximal d'un anneau commutatif $A$ est par définition un idéal maximal parmi les idéaux propres de $A$.