Endomorphisme symétrique avec polynôme
Bonjour
Voici un exercice où je n'arrive pas à établir le côté symétrique de l'endomorphisme u.
J'ai pensé à raisonner sur la base canonique de E et à calculer <u(X^i),X^j> et conclure par linéarité mais cela n'aboutit pas !
Une idée merci ?
Par ailleurs, pas plus d'idée pour la question 3) même si je pense qu'il faut utiliser la BON de la question 2) et le polynôme X^n.
Par avance merci pour toute piste.
Bonne soirée,
gauss
[Contenu du pdf joint. AD]
Voici un exercice où je n'arrive pas à établir le côté symétrique de l'endomorphisme u.
J'ai pensé à raisonner sur la base canonique de E et à calculer <u(X^i),X^j> et conclure par linéarité mais cela n'aboutit pas !
Une idée merci ?
Par ailleurs, pas plus d'idée pour la question 3) même si je pense qu'il faut utiliser la BON de la question 2) et le polynôme X^n.
Par avance merci pour toute piste.
Bonne soirée,
gauss
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Réponses
Par contre toujours pas résolu la question 3.
Bonne soirée et merci pour un coup de pouce.
gauss
Pour calculer la trace, prendre $y=x$ dans l'égalité.
Ok, pour la trace, grâce à votre aide j'ai abouti : on fait x=y, puis on intégre entre 0 et 1 et on se sert du fait que la base des Pi est orthonormale et on aboutit à tr(u) = 2^n/(n+1).
Pour l'identité (x+y)^n = de la question 2..... même avec votre indication, je n'arrive pas à voir, j'ai essayé de calculer <u(P),P >, <u(P),u(P)> avec la décomposition de u(P) préconisée en vain, je n'arrive pas à faire sortir le (x+y)^n.
Encore un coup de pouce svp, désolé pour ma cécité.
Bonne journée,
gauss
merci JLT encore un poil d'indication.
$$\int_0^1 (x+y)^nP(y)\,dy = (u(P))(x)=\sum_k \lambda_k P_k(x)\int_0^1 P(y)P_k(y)\,dy.$$
Effectivement, avec la méthode de JLT, cela nécessite de savoir que (x+y)^n - le membre de droite de l'égalité à prouver en 3 est positif ou nul et continu, ce qui n'a rien d'évident pour la positivité à moins que je ne m'abuse ?
Sinon P. pouvez-vous un peu expliciter votre idée, je ne vois pas trop comment apparait le Pk(y) ?
Par avance merci et super pour vos idées, ça fait plaisir !
Bonne soirée,
gauss
@P : je pense que $u$ n'est jamais définie positive. Soit $a=\langle u(1),1\rangle = \frac{2^{n+2}-2}{(n+1)(n+2)}$, $b=\langle u(1),X\rangle=\frac{2^{n+2}-1}{(n+2)(n+3)}$ et $c=\langle u(X),X\rangle=\dfrac{2^{n+2}n+2}{(n+1)(n+2)(n+4)}$. Il ne doit pas être très difficile de montrer que $ac-b^2<0$. Si c'est vrai, alors la restriction de $u$ au plan engendré par $1$ et $X$ n'est jamais définie positive.
Bonne soirée,
gauss
Il n'y a pas de valeurs propres nulles car $\int_{0}^1(x+y)^nP_k(x)dx$ pour tout $y$ entraîne que $P_k=0$ (on dérive et on fait $y=0$ et on voit ainsi que $P_k$ est orthogonal à tous les polynômes de dégré $\leq n$). Ensuite la définition de $P_k$ entraîne que $P_k(0)=\lambda_k\int_{0}^1 x^nP_k(x)dx.$ Si tous les $P_k(0)$ étaient nuls, alors $x^n$ serait orthogonal à tous les $P_k$ ce qui est impossible. Finalement $$
x^n=\sum_{k=0}^n\frac{P_k(0)}{\lambda_k}P_k(x)\Rightarrow 0=\sum_{k=0}^n\frac{P^2_k(0)}{\lambda_k}$$ et donc certains $\lambda_k$ sont négatifs.
Pour ton calcul, je crois que tu t'es mélangé les pinceaux entre $\lambda_k$ et $\dfrac{1}{\lambda_k}$. On trouve $\sum_k\lambda_k P_k(0)^2=0$, et comme les $P_k(0)$ ne sont pas tous nuls, les $\lambda_k$ ne peuvent pas être tous strictement positifs, par conséquent il existe $k$ tel que $\lambda_k<0$.
$$\mu_n=\frac{1}{n}(\delta_{\lambda_0}+\cdots+\delta_{\lambda_n)}$$ ainsi que $\lim_n \mu_n.$ Qui a vu ca dans la litterature?
\begin{eqnarray*}
\mathrm{Tr}(u^k)&=&\int_{[0,1]^k}(x_1+x_2)^n(x_2+x_3)^n\cdots (x_k+x_1)^n\,dx_1\cdots dx_k\\
&=&2^{kn}\int_{[0,1]^k}\left(1-\frac{y_1+y_2}{2}\right)^n\cdots \left(1-\frac{y_k+y_1}{2}\right)^n \,dy_1\cdots dy_k\\
&= & 2^{kn} \int_{[0,1]^k}e^{n\ln(1-\frac{y_1+y_2}{2})}\cdots e^{n\ln (1-\frac{y_k+y_1}{2})} \,dy_1\cdots dy_k\\
&\simeq & 2^{kn} \int_{\R_+^k}e^{-n\left(\frac{y_1+y_2}{2}+\cdots+\frac{y_k+y_1}{2}\right)} \,dy_1\cdots dy_k\\
&=& \frac{2^{kn}}{n^k},
\end{eqnarray*}
donc je soupçonne qu'il y a une valeur propre proche de $\frac{2^n}{n}$ et que les autres valeurs propres sont beaucoup plus petites.