Question morphisme de groupes
dans Algèbre
En faisant un exercice qui consistait à déterminer les morphismes de Z/12Z vers Z/15Z que je pense avoir compris , une question me taraude cependant.
Si je pose f(x) = 4x , morphisme impossible entre les deux groupes ci-dessus ( car on aurait f(0)=f(12)=0 ce qui est faux car 48 non congru à 0 modulo 15 ok j'ai compris.
Par contre l'égalité f(x+x') =f(x)+f(x') c'est-à-dire 4(x+x') =4x+4x' fonctionne donc morphisme ???
Où est l'erreur ?
Si je pose f(x) = 4x , morphisme impossible entre les deux groupes ci-dessus ( car on aurait f(0)=f(12)=0 ce qui est faux car 48 non congru à 0 modulo 15 ok j'ai compris.
Par contre l'égalité f(x+x') =f(x)+f(x') c'est-à-dire 4(x+x') =4x+4x' fonctionne donc morphisme ???
Où est l'erreur ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
En effet, si un tel $f$ existe, alors d'une part, $f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0)$ d'où $f(0) = \bar{0}$ et d'autre, part $f(0) = f(12) = \bar{48} \neq \bar{0}$.
pour tous x et x' de G f(x+x')= f(x)+f(x')
Normalement le "transport " du neutre et du symétrique en découle . Où est l'erreur ?
- $g(0) = 0$ ;
- pour tout $n$ dans $\N$, $g(n) = 1$ si $n$ est pair ;
- pour tout $n$ dans $\N$, $g(n) = 2$ si $n$ est impair.
Qu'en penses-tu ?Voici un slogan qu'il est bon de retenir : définir un morphisme $f$ de $\Z/n\Z$ vers $G$, c'est définir un morphisme $\overline{f}$ de $\Z$ vers $G$ tel que $\overline{f}(n)=e$.
Ici tu dis $f(x) = 4x$, tu as $n= 12$ et $G=\Z/15\Z$. Bon déjà la vraie définition est $\overline{f}(n) = 4n$ mod $15$.
Repère qu'alors $\overline{f}(12) = 48 \neq 0$ mod $15$. Donc $\overline{f}$ ne permet pas de définir $f: \Z/12\Z\to \Z/15\Z$ : ce n'est pas que ton application n'est pas un morphisme, c'est qu'elle n'est pas définie