Exponentielle de matrice
Bonjour à tous, en ce moment je fais des exercices sur les systèmes différentiels linéaires (avec ou sans second membre), seulement voilà, parfois (souvent en fait), l'exponentielle de la matrice en question est vraiment longue à calculer, (et encore je n'utilise pour ma part, pas la formule de Duhamel pour calculer LA solution d'un pb de Cauchy, qui prendrait simplement trop de temps à appliquer).
Je vais pas parler plus longtemps, je vais plutôt donner un exemple de matrice (celle sur laquelle je travail maintenant) :
$\begin{pmatrix} 0 & 3 & -2\\ -2 & 5 & -2 \\-1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$
Pour calculer donc l'exponentielle matricielle, naïvement, je calcul les valeurs propres associées, je trouve ainsi $2, 1-\sqrt{8}, 1+\sqrt{8}$
Ainsi déjà, rien qu'en voyant la tête des valeurs propres, je sais que je vais galérer à calculer les noyaux (je l'ai quand même fait mais les calculs m'ont pris en tout une bonne vingtaine de minutes, sans compter à la fin les abominables matrices de passage avec des fractions monstrueuses d'irrationnels).
Bref, tout ça pour vous demander en fait, existe t-il un autre moyen que de réduire directement la matrice pour calculer son exponentielle ? Par exemple la décomposer en somme de deux matrices commutantes plus simples à réduire (je n'ai pas trouvé telle décomposition pour l'instant), ou je suis condamner à devoir réduire cette horrible matrice ? Noter qu'en DS, je n'ai pas vraiment le temps de faire tout ça, alors s'il existe une méthode plus simple merci d'avance de me la partager !
Je vais pas parler plus longtemps, je vais plutôt donner un exemple de matrice (celle sur laquelle je travail maintenant) :
$\begin{pmatrix} 0 & 3 & -2\\ -2 & 5 & -2 \\-1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$
Pour calculer donc l'exponentielle matricielle, naïvement, je calcul les valeurs propres associées, je trouve ainsi $2, 1-\sqrt{8}, 1+\sqrt{8}$
Ainsi déjà, rien qu'en voyant la tête des valeurs propres, je sais que je vais galérer à calculer les noyaux (je l'ai quand même fait mais les calculs m'ont pris en tout une bonne vingtaine de minutes, sans compter à la fin les abominables matrices de passage avec des fractions monstrueuses d'irrationnels).
Bref, tout ça pour vous demander en fait, existe t-il un autre moyen que de réduire directement la matrice pour calculer son exponentielle ? Par exemple la décomposer en somme de deux matrices commutantes plus simples à réduire (je n'ai pas trouvé telle décomposition pour l'instant), ou je suis condamner à devoir réduire cette horrible matrice ? Noter qu'en DS, je n'ai pas vraiment le temps de faire tout ça, alors s'il existe une méthode plus simple merci d'avance de me la partager !
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Réponses
En supposant que tu as bien écrit la matrice, les valeurs propres sont fausses. Cette matrice est sans qualité et il n’y a pas de simplification à espérer. Es-tu bien sûre de devoir calculer son exponentielle ? Les calculs sont pénibles et sans intérêt. Passe ton chemin ou passe au calcul numérique.
Sérieux : vérifie la matrice.
Celle que tu donnes n'admet pas la valeur propre 2, sauf erreur de MAPLE.
$\begin{cases}
& x' = 3y -2z + cos(t) \\
& y' = -2x +5y -2z\\
& z' = -x -y -z
\end{cases}$
Il me semble que c'est la bonne matrice (excepté l'erreur que je vais modifier dès maintenant), alors donc il n'y a rien à tier de cette matrice à part des calculs barbares ?
Comme tu dis, à part une erreur, cette matrice était correcte. Les éléments propres ne sont pas si horribles. Écris $2\sqrt{2}$ et non pas $\sqrt{8}$ et calcule calmement...
Calculatrice de matrices donne
http://wims.unice.fr/~wims/wims.cgi?session=Y74681FE39.3&lang=fr&cmd=reply&module=tool/linear/matrix.fr&matrix=0,+3+,-2 +-2,+5+,-2+ -1+,+-1+,++-1&show=invariant&show=charpoly&show=eigen&formula=A^2+3*A+2&register=1
Alain
On peut citer l'algorithme de Putzer pour calculer $e^{tA}$ et aussi se simplifier la vie dans le cas où l'on cherche juste l'image d'un certain vecteur par $e^{tA}$. On peut aussi dans le cas diagonalisable utiliser l'interpolation de Lagrange...
Tu as, en calculant les vecteurs propres, une base de solutions pour le système homogène et tu utilises la méthode de variation des constantes ce qui te conduira au calcul de 3 primitives de produits "cosinus", "exponentielle"...